圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C与椭圆2C：2213649xy有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e与椭圆的离心率2e之比为73，求双曲线1C的方程．（2）以抛物线28yx上的点M与定点(6,0)A为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程．（1）解：1C的焦点坐标为(0,13).2137e由1273ee得1133e设双曲线的方程为22221(,0)yxabab则2222213139ababa解得229,4ab双曲线的方程为22194yx（2）解：设点00(,),(,)MxyPxy，则00622xxyy，∴00262xxyy．代入2008yx得：2412yx．此即为点P的轨迹方程．2、（1）ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．（2）△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A的轨迹方程．解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为yx，，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx．设yxA，，yxG，，则013610022yyx．①由题意有33yyxx，代入①，得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=53sinA2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BCACAB53即6ACAB（*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为116922yx（x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y=-2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆C：12222byax（ab0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x2-x1=56，求椭圆C的方程.解：设a=2k，c=k，k≠0，则b=3k，其椭圆的方程为1342222kykx.由题设条件得：114)2(120xxk，①224)2(120xxk，②x2-x1=56，③由①、②、③解得：k=1，x1=511，x2=-1，所求椭圆C的方程为13422yx.4、在面积为1的PMN中，21tanM，2tanN，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422yx解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP．则.1,21,2cycxycxy∴233435ccycx且即)32,325(P∴,43,13412252222baba得.3,41522ba5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）．（1）求线段PQ的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程．解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1.（2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴21||||OQOP，由角平分线性质可得||||||||RQPROQOP=21，又∵点R在线段PQ上，∴|PR|=21|RQ|，∴点R分有向线段PQ的比为21，由定比分点坐标公式可得32211021342211421nnymmx，即23243ynxm，∴点P的坐标为23,243yx，代入圆的方程x2+y2=4可得42324322yx，即234x+y2=916（y≠0）.∴点R的轨迹方程为234x+y2=916（y≠0）.6、已知动圆过定点1,0，且与直线1x相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于,PQ两点，且满足0OPOQuuuvuuuv？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M为动圆圆心，F1,0，过点M作直线1x的垂线，垂足为N，由题意知：MFMN，即动点M到定点F与定直线1x的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中1,0F为焦点，1x为准线，∴动点R的轨迹方程为xy42（2）由题可设直线l的方程为(1)(0)xkyk，由2(1)4xkyyx得2440ykyk△216160k，11kk或设),(11yxP，),(22yxQ，则124yyk，124yyk由0OPOQ，即11,OPxy，22,OQxy，于是12120xxyy，即21212110kyyyy，2221212(1)()0kyykyyk，2224(1)40kkkkk，解得4k或0k（舍去），又41k，∴直线l存在，其方程为440xy7、设双曲线yax22231的两个焦点分别为FF12、，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线ll12、的方程；（II）若A、B分别为ll12、上的点，且2512||||ABFF，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点N()10，能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OPOQ·0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：（I）eca2422，caac22312，，双曲线方程为yx2231，渐近线方程为yx334分（II）设AxyBxy()()1122，，，，AB的中点Mxy，2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()ABFFABFFcxxyyyxyxxxxyyyyyxxyyxxyyxx又，，，，321321007532512222()()yxxy，即则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III）假设存在满足条件的直线l设lykxlPxyQxy：，与双曲线交于，、，()()()11122OPOQxxyyxxkxxxxkxxxxi·00110101212122121221212()()()()由得则，ykxyxkxkxkxxkkxxkkii()()()13131633063133312222212221222由（i）（ii）得k230∴k不存在，即不存在满足条件的直线l.8、设M是椭圆22:1124xyC上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),MxyNxyxyExy则111111(,),(,),(,),PxyQxyTxy……1分221122221,(1)1241.(2)124xyxy………3分由（1）－（2）可得1.3MNQNkk…6分又MN⊥MQ，111,,MNMQMNxkkky所以11.3QNykx直线QN的方程为1111()3yyxxyx，又直线PT的方程为11.xyxy从而得1111,.22xxyy所以112,2.xxyy代入（1）可得221(0),3xyxy此即为所求的轨迹方程.9、已知：直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程．分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（12,11222kkkk），B/（1)1(8,116222kkkk）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=251,p=552.所以直线L的方程为：y=251x,抛物线C的方程为y2=554x.10、已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为).,(yx由P),(yx在椭圆上，得.)()()(||222222221xacaxabbcxycxPF由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF………………………3分证法二：设点P的坐标为).,(yx记,||,||2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr由.||,4,211222121xacarPFcxrrarr得证法三：设点P的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0xaca由椭圆第二定义得accaxPF||||21，即.||||||21xacacaxacPF由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由0||||2TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，aQFOT||21||1，所以有.222ayx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx…………………………7分解法二：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（yx,），则.2,2yycxx因此.2,2yycxx①由aQF2||1得.4)(222aycx②将①代入②，可得.222ayx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx……………………7分（Ⅲ）解法一：C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是.||221,2022020bycayx由③得ay||0，由④得.||20cby所以，当cba2时，存在点M，使S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c