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第15课时二次函数的应用考点聚焦考点一二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．考点二建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．归类探究探究一利用二次函数解决抛物线形问题命题角度：1．利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题；2．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．例1[2013·哈尔滨]某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图15－1所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.第15课时┃二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材图15－1第15课时┃二次函数的应用(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．解析(1)根据y轴为抛物线的对称轴，AB＝8，可得B(4，0)，把B点坐标代入抛物线解析式即可求得a的值；(2)根据(1)求得a的值，求出解析式，把C点坐标代入求得m的值，然后根据D，C关于原点对称求出D点坐标，然后根据S△BCD＝S△BOD＋S△BOC求出面积即可．考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B(4，0)，把B点坐标代入解析式得16a－4＝0，解得a＝14.(2)过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，∵a＝14，∴y＝14x2－4.令x＝－1，∴m＝14×(－1)2－4＝－154，考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用∴C－1，－154.∵点C关于原点的对称点为D，∴D点的坐标为1，154.则CE＝DF＝154，S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝12OB·DF＋12OB·CE＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD的面积为15平方米．考点聚焦归类探究回归教材方法点析利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．探究二二次函数在营销问题方面的应用命题角度：二次函数在销售问题方面的应用．第15课时┃二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材例2[2013·盐城]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图15－2所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)第15课时┃二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材图15－2第15课时┃二次函数的应用解析设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；(2)①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(25，165)，(35，55)代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为W元，根据利润＝销售收入－进货金额得到W关于x的函数关系式为W＝－11(x－30)2＋1100，再根据二次函数的性质即可求解考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得80(a＋2)＝88a，解之得a＝20.答：现在实际购进这种水果每千克20元．(2)①∵y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b，将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用解得k＝－11，b＝440，∴y＝－11x＋440.②设最大利润为W元，则W＝(x－20)(－11x＋440)＝－11(x－30)2＋1100.∴当x＝30时，W最大值＝1100.答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润1100元．考点聚焦归类探究回归教材方法点析二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．探究三二次函数在几何图形中的应用命题角度：1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及最大面积，最小距离等；2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．第15课时┃二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用例3[2013·聊城]已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．图15－3考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用解：(1)依题意得：y＝12x(20－x)＝－12x2＋10x(0x20)，解方程48＝－12x2＋10x，得x1＝12，x2＝8，∴当△ABC的面积为48时，BC的长为12或8.(2)由(1)得y＝－12x2＋10x＝－12(x－10)2＋50，∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.(3)△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，A′B′，则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C.当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时，L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小．这时由作法可知：BB′＝20，∴B′C＝202＋102＝105，∴L＝105＋10.因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10.考点聚焦归类探究回归教材方法点析构造二次函数在几何图形中的应用，主要是求几何图形的面积最大值的问题，求解这类问题，只要能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解．第15课时┃二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材如何定价利润最大教材母题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？回归教材第15课时┃二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用解(1)设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x变化的关系式为y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，自变量x的取值范围是0≤x≤30.∴y＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250.因此当x＝5时，y取得最大值为6250元．(2)设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x变化的关系式为y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量x的取值范围是0≤x≤20，考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用∴y＝－20x2＋100x＋6000＝－20(x－2.5)2＋6125.因此当x＝2.5时，y取得最大值为6125元．(3)每件售价60元(即不涨不降)时，每星期可卖出300件，其利润y＝(60－40)×300＝6000(元)．综上所述，当商品售价定为65元时，一周能获得最大利润6250元．[点析]本题是一道较复杂的市场营销问题，需要分情况讨论，建立函数关系式，在不同的情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，利用函数最值解决问题．考点聚焦归类探究回归教材中考预测某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系．(1)试求y与x之间的函数关系式；(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？第15课时┃二次函数的应用考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃二次函数的应用解：(1)由题意，可设y＝kx＋b，把(5，30000)，(6，20000)代入所以y与x之间的函数关系式为y＝－10000x＋80000.(2)设利润为W，则W＝(x－4)(－10000x＋80000)＝－10000(x－4)(x－8)＝－10000(x2－12x＋32)＝－10000[(x－6)2－4]＝－10000(x－6)2＋40000.所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．考点聚焦归类探究回归教材