高考提优专训—数列选择培优

1数列专项训练一、知识要点：1.等差数列公式变形:)(1dadnan，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，n的系数是公差。2.等差数列求和公式变形为：snndand)2(212，是关于n的二次函数，且无常数项，n2的系数是公差的一半。可设前n项和为：2nSAnBn.3.若等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则TSnnnnba12124.若an共有2n项,则)(1aannnns；ndss奇偶；aannss1奇偶.5.若an共有2n－1项,则annns)12(12；anss奇偶；nnss1奇偶.6.如Sn为等差数列的前n项和，则,...,,232SSSSSkkkkk构成的数列是等差数列.如Sn为等差数比的前n项和，则,...,,232SSSSSkkkkk构成的数列是等比数列.7.若an是等比数列，且各项均为正数，则naalog成等差数列。典型例题1．已知数列na满足11a，12nnnaaa（*nN），若11()(1)nnbna（*nN），1b，且数列nb是单调递增数列，则实数的取值范围为（）A．2B．2C．3D．32．已知数列na满足111,,nnaPaanN在直线10xy上，如果函数12111...,2nfnnNnnanana，则函数fn的最小值为（）A.13B.14C.712D.5123．已知数列na为等差数列，nS为前n项和，公差为d，若100172017172017SS，则d的值为（）A.201B.101C.10D.2024．如题图，已知点D为ABC的边BC上一点，3BDDC，()nEnN为边AC上的列点，满足11(32)4nnnnnEAaEBaED，其中实数列na中10,1naa，则na的通项公式为（）A．1322nB．21nC．32nD．1231n5．用x表示不超过x的最大整数，例如[3]3，[1.2]1，[1.3]2.已知数列na满足11a，21nnnaaa，则]11...1111[201621aaa_____________.6．设数列na是首项为0的递增数列，*11sin,,,nnnnfxxaxaanNn，满足：对于任意的0,1,nbfxb总有两个不同的根，则na的通项公式为___________．7．对于数列nx,若对任意*nN,都有212nnnxxx成立,则称数列nx为“减差数列”.设2122nntnnbt,若数列5b,6b,7b,…,nb（5n,*nN）是“减差数列”,则实数t的取值范围是．8．用x表示不超过x的最大整数，例如[3]3，[1.2]1，[1.3]2.已知数列na满足11a，21nnnaaa，则]1...11[201620162211aaaaaa_____________.9．在数列na及nb中，221nnnnnaabab，221nnnnnbabab，11a，11b．设112()nnnncab，则数列nc的前n项和为．10．对于数列na，定义naaaHnnn12122为na的“优值”，现在已知某数列na的“优值”，记数列knan的前项和为nS，若5SSn对任意的恒成立，则实数k的取值范围是_________．11．已知数列{}na的前n项和为nS，当数列{}na的通项公式为*1,1nanNn时，我们记实数为2nnSS的最小值，那么数列1100nbn，*nN取到最大值时的项数n为.12．已知数列{}na满足*111,()2(1)(1)nnnnaaanNnna，若不等式2410ntann恒成立，则实数t的取值范围是.12nHnnn313．已知数列na的前n项和为1211,1,3,432nnnnSaaSSSn，若对于任意*nN，当1,1t时，不等式21211121nxtxaaa恒成立，则实数x的取值范围为__________.14．在数列{}na中，122111,33232(2)nnnnnaaan，nS是数列1{}nan的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnSmmNSm恒成立时，mn的所有可能取值为.15．若数列na满足2132431nnaaaaaaaa，则称数列na为“差递减”数列．若数列na是“差递减”数列，且其通项na与其前n项和*nSnN满足2321nnSanN，则实数的取值范围是__________．16．已知数列na满足12a，210nnaan，则31a_____________.17．已知数列{}na中，11a，*1()nnnannNaa，则2016a.18．已知数列na的前n项和为nS且122212nnnnanNnnn，则nS_________.19．设数列{an}满足：a1＝，an＋1＝[an]＋，其中，[an]、{an}分别表示正数an的整数部分、小数部分，则a2016＝____________.20．已知数列na的各项均为正整数，其前n项和为nS，若1,231,nnnnnaaaaa是偶数，是奇数，且329S，则2015S．21．如果一个实数数列na满足条件：daann21（d为常数，*Nn），则称这一数列“伪等差数列”，d称为“伪公差”。给出下列关于某个伪等差数列na的结论：①对于任意的首项1a,若d0则这一数列必为有穷数列；②当d0,1a0时,这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1,伪公差为3,5可以是这一数列中的一项；⑤若这一数列的首项为0,第三项为-1,则这一数列的伪公差可以是235。其中正确的结论是________________．422．设为实数，为不超过实数的最大整数，记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，．当时，对任意的自然数都有，则实数的值为．23．设数列}{na满足21a，)(11*1Nnaaannn，则该数列的前2015项的乘积2015321aaaa_________.24．若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，10,11,11nnnnnaaaaa现给出以下命题：①若，则可以取3个不同的值②若，则数列是周期为的数列③且，存在，是周期为的数列④且，数列是周期数列.其中所有真命题的序号是.参考答案x[]xx[]xxxx[0,1)na1aa0na11nnaa0na10na1132annaaa{}naTnnTnaa{}naT{}na1(0)amm34am2m{}na3T*N2T1m{}naTQm2m{}na51．B【解析】试题分析：因为数列na满足11a，12nnnaaa（*nN），所以1121nnaa，化为1112(1)1nnaa，所以数列1{1}na是等比数列，首项为11121a，公比为2，所以1121nna，所以11()(1)()2nnnbnna，因为1b且数列nb是单调递增数列，所以1nnbb，所以1()2(1)2nnnn，化为1n，因为数列1n为单调递增数列，所以2，故选B．考点：等比数列的通项公式及其应用．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，其中解答中涉及到数列的递推公式化简与运算、等比数列的定义、等比数列的通项公式，以及数列的单调性及其应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与函数思想的应用，解答中根据数列的递推关系，得到数列nb的通项公式，再根据数列的单调性求解是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题．2．C【解析】试题分析：将P的坐标代入直线方程，有11nnaa，所以na是首项为1，公差为1的等差数列，所以nan，故111...12fnnnnn，1111...232fnnnnn，1111111012122221fnfnnnnnnnnn，所以fn单调递增，故最小值为7212f.考点：数列与函数结合求最值.3．B.【解析】试题分析：由题意得，11(1)122nnndnaSnadnn，∴2017171001000100201717SSd110d，故选B.考点：等差数列的通项公式及其前n项和.4．D【解析】试题分析：因为3BDDC，所以1433nnnECEBED．设nnmECEA，则由114nnnEAaEB－(32)nnaED，得11134nma，4(32)3nma，所以111(32)44nnaa，所以113(1)nnaa．因为112a，所以数列{1}na是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123nna，所以1231nna，故选D．考点：1、向量的加减运算；2、等比数列的定义及通项公式．5．0【解析】试题分析：由已知22113024nnnnaaaa所以数列为正项数列，且210nnnaaa，则数列na为正项递增数列。对条件21nnnaaa两边取倒数得：61111111nnnnnaaaaa所以1220161223201620171201620161111111111111111aaaaaaaaaaaa，由于数列为正项递增数列，所以20161011a，所以1220161110111aaa。考点：1.数列的单调性；2.数列裂项相消求和。6．12nnna【解析】试题分析：10a，当1n时，112sin()sin,0,fxxaxxa，又因为对于任意的0,1,nbfxb总有两个不同的根，所以2a，所以12sin,0,,fxxxa，又223111sinsincos,,222fxxaxxxa，对于任意的0,1,nbfxb总有两个不同的根，所以33a，由此可知1nnaan，用累加法求得12nnna.考点：数列求通项.【思路点晴】本题考查数列与三角函数的结合问题，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性.考查合情推理与演绎推理.形如1nnaafn的递推公式，我们可以采用累加法来求通项，即112211nnnnnaaaaaaaa来求解.形如1nnafna的递推公式，我们可以采用累乘法类求通项.7．3(,)5【解析】试题分析:由题设可得6752bbb,即)26362(2274925254564ttttt,解之得53t,故应填答案3(,)5.考点：“减差数列”的定义及运用．【易错点晴】本题新定义了一个新概念和信息“减差数列”,然后借助这个新概念精心设置了一道求参数t的取值范围问题.求解时充分借助“减差数列”的定义与题设条件,巧妙建构不等式)26362(2274925254564