微分例题讲解

二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念机动目录上页下页返回结束函数的微分第二章一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则,2xA0xx面积的增量为xx020xAxx02)(x关于△x的线性主部高阶无穷小0x时为故称为函数在的微分0x当x在0x取得增量x时,0x变到,0xx边长由其机动目录上页下页返回结束的微分,定义:若函数在点的增量可表示为0x(A为不依赖于△x的常数)则称函数)(xfy而称为xA记作即xAyd定理:函数在点可微的充要条件是0x)(xoxA即xxfy)(d0在点可微,机动目录上页下页返回结束定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则)()(00xfxxfy))((limlim00xxoAxyxxA故)(xoxA在点的可导,且在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0机动目录上页下页返回结束定理:函数在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0“充分性”已知)(lim00xfxyx)(0xfxy)0lim(0xxxxfy)(0故)()(0xoxxf线性主部即xxfy)(d0在点的可导,则机动目录上页下页返回结束说明:0)(0xf时,xxfy)(d0)()(0xoxxfyyyxdlim0xxfyx)(lim00xyxfx00lim)(11所以0x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当机动目录上页下页返回结束微分的几何意义xxfy)(d0xx0xyo)(xfy0xyydxtan当很小时,xyyd时，当xy则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,为称x记作xdxyxd记机动目录上页下页返回结束例如,,3xyyd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxyydxxd112基本初等函数的微分公式(见P115表)又如,机动目录上页下页返回结束二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为xxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vuddvuuvdd机动目录上页下页返回结束例1.求解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动目录上页下页返回结束例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有0))d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(dyxxydd)sin(cosyxxyxyxsin)sin(例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1(ttdcos)d()2(221xtsin1说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意目录上页下页返回结束注意:数学中的反问题往往出现多值性.三、微分在近似计算中的应用)()(0xoxxfy当x很小时,)()(00xfxxfyxxf)(0xxfxfxxf)()()(000xxx0令使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx))(()()(000xxxfxfxf得近似等式:机动目录上页下页返回结束特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式:x1很小)x(xxxx1证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当x机动目录上页下页返回结束180dx的近似值.解:设,sin)(xxf取则18029sin6sin6cos2123)0175.0()180(例4.求29sin机动目录上页下页返回结束的近似值.解:2433551)2243(51)24321(33)2432511(0048.3例5.计算xx1)1(机动目录上页下页返回结束例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量01.01RRRR2401.01RR)(cm13.03因此每只球需用铜约为16.113.09.8(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,机动目录上页下页返回结束四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限机动目录上页下页返回结束误差传递公式:已知测量误差限为,x按公式计算y值时的误差ydxxf)(故y的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得x,机动目录上页下页返回结束例7.设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A的绝对误差限约为A的相对误差限约为试估计面积的误差.计算机动目录上页下页返回结束(mm)内容小结1.微分概念•微分的定义及几何意义•可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:uufufd)()(d(u是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点0x处的yy,d及,dyy并说明其正负.yd0xx00xxyoy00yyd机动目录上页下页返回结束2.xxeed)d(arctanxe211xdxxee21xxsindtand.3x3secxxd2sin)(d.4Cx2cos21机动目录上页下页返回结束5.设由方程确定,解:方程两边求微分,得xxd32当0x时,0y由上式得xyxd21d0求yyd32xxd3cos30d6y6.设,0a且,nab则nnba1nanba机动目录上页下页返回结束作业P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);12习题课目录上页下页返回结束1.已知求解：因为所以备用题机动目录上页下页返回结束方程两边求微分,得已知求解：2.习题课目录上页下页返回结束