高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学

第六节子空间的交与和上页下页返回定理5如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的交V1∩V2也是V的子空间.在这一节，我们来介绍子空间的两种运算：交与和.上页下页返回证明首先，由0∈V1,0∈V2，可知0∈V1∩V2，因而V1∩V2是非空的.其次，如果α,β∈V1∩V2，即有α,β∈V1，又有α,β∈V2，那么就有α+β∈V1，α+β∈V2，因此α+β∈V1∩V2，即加法是封闭的.如果α∈V1∩V2，即有α∈V1，又有α∈V2，那么对任意的数k∈P，就有kα∈V1，kα∈V2，因此kα∈V1∩V2，即数量乘积也是封闭的.所以V1∩V2是V的子空间.证毕.上页下页返回由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：V1∩V2=V2∩V1(交换律)，(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律).由结合律，可以定义多个子空间的交：siisVVVV121它也是V的子空间.定义8设V1,V2是线性空间V的子空间，所谓V1与V2的和，是指由所有能表示成α1+α2，而且α1∈V1，α2∈V2的向量组成的子集合，记作V1+V2.上页下页返回定理6如果V1,V2是线性空间V的子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间.证明首先，V1+V2显然是非空的.α=α1+α2，α1∈V1，α2∈V2，β=β1+β2，β1∈V1，β2∈V2.那么α+β=(α1+β1)+(α2+β2).又因V1,V2是子空间，故有α1+β1∈V1，α2+β2∈V2.因此α+β∈V1+V2.同样kα=kα1+kα2∈V1+V2.所以，V1+V2是V的子空间.证毕.其次，如果有α,β∈V1+V2，即可写成上页下页返回由定义有，子空间的和适合下列运算规律V1+V2=V2+V1(交换律)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)(结合律).由结合律，我们可以定义多个子空间的和siisVVVV121它是由所有表示成),,2,1(,21siViis的向量组成V的子空间.上页下页返回关于子空间的交与和有以下结论：1.设V1,V2,W都是子空间，那么由WᆮV1与WᆮV2可推出WᆮV1∩V2；而由V1ᆮW与V2ᆮW可推出V1+V2ᆮW2.对于子空间V1与V2，以下三个论断是等价的：1)V1ᆮV2;2)V1∩V2=V1;3)V1+V2=V2.(这些结论的证明较容易，留给大家作练习.)例1在三维几何空间R3中，用上页下页返回下面来看几个例子.V1表示一条通过原点的直线，V2表示一张通过原点而且与V1垂直的平面那么，V1与V2的交是{0}，即V1∩V2={0}，而V1与V2的和是整个空间，即V1+V2=R3.上页下页返回例2在线性空间Pn中，用V1与V2分别表示齐次线性方程组0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa0,0,0221122221211212111ntnttnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbxb与的解空间，那么V1∩V2就是齐次线性方程组的解空间.0,0,0,02211121211122111212111ntnttnnnsnssnnxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaxa例3(结论)在一个线性空间V中，我们有上页下页返回L(α1,α2,,αs)+L(β1,β2,,βt)=L(α1,α2,,αs,β1,β2,,βt).上页下页返回关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2).证明设V1,V2的维数分别是n1,n2，V1∩V2的维数是m.取V1∩V2的一组基α1,α2,,αm.由定理4，它可以扩充成V1的一组基α1,α2,,αm,β1,β2,,βn1-m.也可以扩充成V2的一组基α1,α2,,αm,γ1,γ2,,γn2-m.上页下页返回我们来证明，向量组α1,α2,,αm,β1,β2,,βn1-m,γ1,γ2,,γn2-m.(1)是V1+V2的一组基，这样，V1+V2的维数就等于n1+n2-m，因而维数公式成立.因为V1=L(α1,α2,,αm,β1,β2,,βn1-m).V2=L(α1,α2,,αm,γ1,γ2,,γn2-m).所以V1+V2=L(α1,α2,,αm,β1,β2,,βn1-m,γ1,γ2,,γn2-m).现在来证明向量组(1)是线性无关的.假设有等式上页下页返回由第一个等式，有α∈V1；而由第二个等式看出，α∈V2.于是，α∈V1∩V2，即α可以被α1,α2,,αm线性表出.令α=l1α1+l2α2++lmαm，则k1α1++kmαm+p1β1++pn1-mβn1-m+q1γ1++qn2-mγn2-m=0.令α=k1α1++kmαm+p1β1++pn1-mβn1-m=-q1γ1--qn2-mγn2-m.l1α1++lmαm+q1γ1++qn2-mγn2-m=0.上页下页返回这就证明了α1,,αm,β1,,βn1-m,γ1,,γn2-m线性无关，因而它是V1+V2的一组基，故维数公式成立.由于α1,α2,,αm,γ1,γ2,,γn2-m线性无关，得l1==lm=q1==qn2-m=0，因而α=0.从而有k1α1++kmαm+p1β1++pn1-mβn1-m=0.由于α1,α2,,αm,β1,β2,,βn1-m线性无关，又得k1==km=p1==pn2-m=0，证毕.上页下页返回从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于4.由此说明这两张平面的交是一维的直线.上页下页返回但因V1+V2是V的子空间而有推论如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n，那么V1,V2必含有非零的公共向量.一般地，我们有证明由假设维(V1+V2)+维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)n.维(V1+V2)≤n.所以维(V1∩V2)0.这就是说，V1∩V2中含有非零向量.证毕.