高等代数论文

高等代数课题：关于可逆矩阵及其应用的举例探讨学院、专业：数学与应用数学学生姓名：欧习昌年级班：2011级数本（1）班指导教师：秦瑞兵老师目录摘要·1关键字·1引言·1第一部分·1基础知识·1一、定义·11、矩阵的定义·12、逆矩阵的定义·1二、逆矩阵的性质·1三、逆矩阵的判断条件·2第二部分逆矩阵的求解方法·2方法1定义法·2方法2伴随矩阵法·2方法3初等变换法·3方法4用分块矩阵求逆矩阵·5方法5解方程组求逆矩阵·5方法6用克莱姆法则求解·6方法7用行列式·8方法8恒等变形法求逆矩阵·9方法9用Hamilton-Caley定理求逆矩阵·10方法10三角矩阵求逆法·11方法11拼接新矩阵·12第三部分可逆矩阵的应用·12一、数学中的应用·13二、生活中的应用·14总结·17参考文献·17关于可逆矩阵及其应用的举例探讨摘要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时在生活应用上，也占有很重要的地位。本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的种方法，以及其应用的举例。关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵逆矩阵应用的举例引言矩阵理论是高等代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。在矩阵乘法中单位矩阵E相当于数的乘法运算中的“1”，逆矩阵类似实数的倒数。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法，以及应用例子进行探讨。第一部分知识预备一、定义1、矩阵的定义矩阵设mn个数),,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211用括号将其括起来,称为nm矩阵,并用大写字母表示,即mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211,简记为nmijaA)(.2、逆矩阵的定义定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.二、逆矩阵的基本性质：性设A，B是n阶可逆矩阵，则（1）（A-1）-1=A；1（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=1kA-1；（3）AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1；（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；（6）|A-1|=|A|-1；（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）.2、矩阵可逆的判断条件（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（也即r（A）=n）；（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.第二部分矩阵逆的求解方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.例1：设A为n阶矩阵，且满足22A-3A+5E=0，求A-1.【解】222-12A-3A+5E=02A-3A=-5E23-A-A=E552323A(-A-E)=-A-E=E555523AA=-A-E55可逆且方法2伴随矩阵法：A-1=1|A|A*.2定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且11211122221121nnnnnnAAAAAAAAAAA其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=1|A|A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aij）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122aaAaa，其伴随矩阵22122111*aaAaa,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325，求A-1.【解】∵|A|=2≠0∴A可逆.由已知得111213212223313233A=-5,A=10,A=7A=2,A=-2,A=-2A=-1,A=2,A=1A-1=1|A|A*=5115212211022511272171122方法3初等变换法：1AEEA初等行变换3注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵.③当矩阵A逆时，可利用11EABEA,CABCA初等行变换初等列变换求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A-1B或CA-1.例3：:用初等行变换求矩阵231A013125的逆矩阵.【解】231100125001125001AE0130100130100130101250012311000061121250011250010130100130100191021110016631134100663130101221110016631113410066313A010122111001663故4方法4用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：1111111111111111AA000B0COAAACBAOAOBDBOBBDABBOAOBBOAO例4：已知0052002112001100A，求A-1.【解】将A分块如下：120052002112001100OAAAO其中125212,2111AA可求得1*1*1122121212111,2511||||3AAAAAA从而1121112003311003312002500OAAAO方法5解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.5例5求1000120021301214A的逆矩阵.解设21131324142431000100210314XAXXXXX,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素213243X,X,X,再求3142X,X，最后求41X.设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到414243433132434142434241424343110X0X3X0;,X;412211X1X100;,X;32250X2X1X0;,X;44111X1X2X0;,X48解得解得解得解得。于是,所求的逆矩阵为:110001100221110263151184124A方法6用克拉默法则求解：若线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式||0ijnDa，则此方程组有唯一的一组解1212,,,nnDDDxxxDDD.这里iD是将6D中的第i列1,,iniaa换成1,,nbb得到的行列式.定理1若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).定理2两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由克莱姆法则可得唯一解:εj=Dj/D=bj1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得:BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).下面举例说明这种方法.例6求可逆矩阵121310102A的逆矩阵.解矩阵A的行向量为123,,，由标准基123,,表示为：1123212313232解以123,,为未知量的方程组得：1123212331232419992113331259991241999211333125999A7该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:由：1123212313232得：123112213323令123121310102AA是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对A施行矩阵的行的初等变换得:123123123241999100211010333001125999A1241999211333125999A方法7用行列式：定理：若n阶矩阵A=(Aij)为满秩矩阵,则A可逆，且1111i111i+11n1221i12i+12n1nn1ni1nni+1nnni1nAaaaaAaaaaAAAaaaaA’，，’2，2，’’，，其中，2，，11n，，，为nR的初始单位向量组，即i0000i12n，，，1，，，，，，例7：设1.23.12.4A6.15.44.74.10.20.1