高等代数试卷

试卷第1页共2页（一）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设(),(),(),()[],fxgxuxvxFx若()()()()2,uxfxvxgx则((),())uxvx.2．已知n阶方阵A的行列式A＝21，则1*1()103AA.3.秩AB秩A秩B.4.设12000000naaAa，其中,ijaa当ij,1,2,,ijn时，则与矩阵可交换的矩阵是.5.设111213212223313233aaaAaaaaaa,212223111213113112321333aaaBaaaaaaaaa,100010101P,010100001Q,则B（请用A、P、Q表示).二、计算题（共40分）1．（10分）设多项式5432()61314128fxxxxxx(1)问2是()fx的几重根？(2)分别求)(xf在有理数域、实数域及复数域上的因式分解.2．（10分）已知(2)n阶矩阵111111aaAa，（1）计算A的行列式；（2）求矩阵A的秩.3．（10分）已知矩阵2123021200210001A,且2XAXAE,求X.4．（10分）已知A为3阶方阵，秩1A，非齐次线性方程组Axb的三个解向量123,,满足1223131012,1,0311试卷第2页共2页求该非齐次线性方程组Axb的通解.三、（15分）设向量组123114,2,1,5,,2,10,1,,1,ab问,ab取何值时，有（1）可由321,,线性表出，且表法唯一？（2）可由321,,线性表出，但表法不唯一？此时，写出321,,的一个极大无关组，并用它的一个组合表示.（3）不能由321,,线性表出？四、(10分)已知12,,,n线性无关，12、为两个向量，若121,,,,n线性相关，122,,,,n线性无关，证明：1212,,,,na必线性无关（a为任意常数）.五、（10分）已知A满足260AAE，（1）证明：A与3AE皆可逆，并求其逆;（2）证明：秩(3)AE秩(2)AEn.（3）若（2）成立，是否有260AAE成立？六、（10分）设()[],1,2,,ifxCxin，证明：（1）若233121|()()xxfxxfx，则1(1)|()xfx，2(1)|()xfx；（2）若3244241231|()()()xxxfxxfxxfx，则(1)|()ixfx，123i,,；（3）上述（2）是将（1）中两个函数的条件与结果推广到三个函数的情形，是否可将之推广到n个函数的情形？若可以，此时的已知条件、结论是怎样的？