直线与圆位置关系知识点与经典例题

直线与圆位置关系一．课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二．知识框架相离几何法弦长直线与圆的位置关系相交代数法切割线定理相切直线与圆代数法求切线的方法几何法圆的切线方程过圆上一点的切线方程圆的切线方程切点弦过圆外一点的切线方程方程三．直线与圆的位置关系及其判定方法1.利用圆心0),(CByAxbaO到直线的距离22BACBbAad与半径r的大小来判定。（1）rd直线与圆相交（2）rd直线与圆相切（3）rd直线与圆相离2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。（1）有两个公共解（交点），即0直线与圆相交（2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0直线与圆相切（3）无解（交点），即0直线与圆相离3.等价关系相交0rd相切0rd相离0rd练习（位置关系）1.已知动直线5:kxyl和圆1)1(:22yxC，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？（位置关系）2.已知点),(baM在圆1:22yxO外，则直线1byax与圆O的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定（最值问题）3.已知实数x、y满足方程01422xyx，（1）求xy的最大值和最小值；（2）求yx的最大值和最小值；（3）求22yx的最大值和最小值。〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线bxy截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。（位置关系）4.设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则nm的取值范围是（）（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy中，已知圆224xy上有且仅有四个点到直线1250xyc的距离为1，则实数c的取值范围是6．直线0323yx截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是(C)A、6B、4C、3D、2（位置关系）7．圆012222yxyx上的点到直线2yx的距离最大值是（）A．2B．21C．221D．221（最值问题）8.设A为圆1)2()2(22yx上一动点，则A到直线05yx的最大距离为______.9．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线0443yx与圆C相切，则圆C的方程为（）A．03222xyxB．0422xyxC．03222xyxD．0422xyx10.若曲线21xy与直线bxy始终有两个交点，则b的取值范围是__________.（对称问题）11.圆4)1()3(:221yxC关于直线0yx对称的圆2C的方程为:()A.4)1()3(22yxB.4)3()1(22yxC.4)3()1(22yxD.4)1()3(22yx12.直线3ykx与圆22(2)(3)4xy相交于NM,两点，若||MN23，则k的取值范围是()A．3[,0]4B．33[,]33C．[3,3]D．2[,0]313.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．[解析](1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，由2x＋y－7＝0x＋y－4＝0得交点M(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝525，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点．(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴弦长为l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45.四．计算直线被圆所截得的弦长的方法1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt计算，即222drAB2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即BABABAxxxxkxxkAB4)()1(1222（注：当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；弦中点坐标为）（2,2BABAyyxx，求解弦中点轨迹方程。）练习1.直线32xy被圆08622yxyx所截得的弦长等于（）2.过点)1,2(的直线中被圆04222yxyx截得的弦长最大的直线方程是()A.053yxB.073yxC.053yxD.053yx3.已知圆C过点)0,1(，且圆心在x轴的正半轴上，直线1:xyl被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为（）4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为()A.32B.34C．25D.3555.已知圆4)4()3(:22yxC和直线034:kykxl（1)求证:不论k取什么值,直线和圆总相交;(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.6.若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为()A．1B．－1C.12D．27.已知过点3,3M的直线l与圆224210xyy相交于,AB两点，（1）若弦AB的长为215，求直线l的方程；（2）设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程．解：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为3x，此时有24120yy，弦||||268ABAByy，所以不合题意．故设直线l的方程为33ykx，即330kxyk．将圆的方程写成标准式得22225xy，所以圆心0,2，半径5r．圆心0,2到直线l的距离2|31|1kdk，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以2223115251kk，即230k，所以3k．所求直线l的方程为3120xy．（2）设,Pxy，圆心10,2O，连接1OP，则1OPAB．当0x且3x时，11OPABkk，又(3)(3)ABMPykkx，则有23103yyxx，化简得22355222xy．．．．．．（1）当0x或3x时，P点的坐标为0,2,0,3,3,2,3,3都是方程（1）的解，所以弦AB中点P的轨迹方程为22355222xy．8.已知圆0622myxyx和直线032yx相交于QP,两点,O为原点,且OQOP,求实数m的取值.五．已知切点，求切线方程1.经过圆222ryx上一点）（00,yxP的切线方程为200ryyxx2.经过圆222)()(rbyax上一点）（00,yxP的切线方程为200))(())((rbybyaxax3.经过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为0220000FyyExxDyyxx练习1.经过圆上一点)8,4(P作圆9)8()7(22yx的切线方程为（）2.圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为（）A．023yxB．043yxC．043yxD．023yx六．切点未知，过园外一点，求切线方程1.k不存在，验证是否成立；2.k存在，设点斜式，用圆到直线的距离rd，即)(00xxkyy1)(200kxakybr练习1.求过)5,3(A且与圆0744:22yxyxC相切的直线方程。七．切线长若圆222)()(:rbyaxC，则过圆外一点),(00yxP的切线长22020)()(rbyaxd练习1.自点1)3()2()4,1(22yxA作圆的切线，则切线长为（B）(A)5(B)3(C)10(D)52.自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为八．切点弦方程过圆222)()(:rbyaxC外一点),(00yxP作圆C的两条切线方程，切点分别为BA,,则切点弦AB所在直线方程为：200))(())((rbybyaxax1．过点C(6，－8)作圆x2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为()A．15B．1C.152D．5九．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即PDPCPT2练习1.自动点P引圆1022yx的两条切线PBPA,，直线PBPA,的斜率分别为21,kk。（1）若12121kkkk，求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线myx上，且PBPA，求实数m的取值范围。〖解析〗（1）由题意设),(00yxP在园外，切线101),(:20000kykxxxkyyl，0102)10(2000220ykyxkx由12121kkkk得点P的轨迹方程为052yx。（2）),(00yxP在直线myx上，myx00又PBPA，11010,1202021xykk，即202020yx，将myx代入化简得020222020mmxx又0，102102-m又102020yx恒成立，522mm或102,5252,102的取值范围是m