向量的数乘运算习题课

2.2.3向量数乘运算及其几何意义第二课时问题提出1.数乘运算的定义是什么？一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ0时,λa与a方向相同；λ0时,λa与a方向相反；λ=0时,λa=0.2.向量的数乘运算性质如何？λ(μa)=(λμ)a；(λ＋μ)a=λa＋μa；λ(a＋b)=λa＋λb.数乘结合律第一分配律第二分配律３．向量共线定理是什么？向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.思考１：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？ABBCl=uuuruuurABBCABCl=?uuuruuur、、共线探究:三点共线如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否共线。ADECB思考２：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？OPuuurOAuuurOBuuurABPO1()2OPOAOB=+uuuruuuruuur思考３：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为什么运算？λ(xa±yb）=λxa±λyb.2b3babO例１如图，已知任意两个非零向量a，b，试作=a＋b，=a＋2b，=a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？OAOBOCabABC2ACABABC=?uuuruuur、、共线设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)练习１练习2:e1、e2不共线,a=e1+e2,b=3e1－3e2.a与b是否共线。解：假设,a与b共线则e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ这样λ不存在。∴a与b不共线。例2:（2003辽宁）已知四边形ABCD是菱形，P点在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于()A、B、C、D、(),(0,1)ABAD2(),(0,)2ABBC(),(0,1)ABAD2(),(0,)2ABBCA变形１:（2003全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心(),[0,),||||ABACOPOAABACB(1)OPtOAtOB所以：OABP因为OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB思考:若上式成立,则A、B、P有什么关系?反之?变形2:OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线(1)OPtOAtOB则则P、A、B三点共线.(1)OPtOAtOB若O是平面上任意一点,且若O是平面上任意一点,且OPOAOB其中,则P、A、B三点共线1等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线,则其中OPOAOB1小结回顾一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD作业：书本P92，11，12同步训练P366P378