材料力学计算

主讲§9－1压杆稳定的概念§9–2两端铰支细长中心压杆的临界力§9–3其他支座条件下细长压杆的临界应力§9–4欧拉公式的适用范围经验公式§9–5压杆的稳定校核§9-6提高压杆稳定性的措施1，构件的承载能力：①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。§9－1压杆稳定的概念千斤顶活塞杆2，工程实例压杆的稳定性试验不稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置3、压杆失稳与临界压力：1）理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用2).压杆的稳定平衡与不稳定平衡：稳定平衡不稳定平衡3).压杆失稳：4).压杆的临界压力稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Plj过度对应的压力一、两端铰支压杆的临界力：如图建立x,y坐标轴。yPMlj假定压力已达到临界值P=Plj，杆已经处于微弯状态，如图。从挠曲线入手，求临界力。xMyEI①如图弯矩M为正，位移y以沿y轴正向为正;②挠曲线近似微分方程：02ykyyEIPyljEIPklj2令§9–2两端铰支细长中心压杆的临界力yPljPMx③微分方程的解：④确定积分常数：kxcosbkxsinay0)L(y)0(y0kLcosbkLsina0b0a:即00kLsina不可能因为...),,n(EIPLnklj210因为临界力Plj是微弯下的最小压力，故只能取n=1；且杆将绕惯性矩I最小的轴Imin弯曲。22LEIPminlj0kLsina0b0yky2二、此公式的应用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内；3.两端为铰支座。【例9－1】一钢质细长杆杆长L=1m,横截面直径d=20mm,两端铰支。设材料为Q235钢，弹性模量E=200Pa,试求其临界力？解：22LEIPlj临界压力644dI细长杆的横截面惯性矩)m(1085.76402.049422LEIPlj临界压力)N().()(1548110857102002992该式为两端铰支压杆临界力的欧拉公式推论：在其它约束情况下，压杆临界力为：—长度系数（或约束系数）,几种理想的杆端约束情况下压杆长度系数列于下表。以上为压杆临界力欧拉公式的普遍表达式。称为相当长度的半波正弦曲线的长度则相当于两端铰支压杆,l§9–3其他支座条件下细长压杆的临界应力0.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μ22lEIPcr2270)l.(EIPcr2250)l.(EIPcr222)l(EIPcr22lEIPcr=10.7=0.5=2=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lPcrPcrl2llC—挠曲线拐点两端固定但可沿横向相对移动【思考题】图示各杆材料和截面均相同，问哪根压杆能忍受的压力最大，哪根最小？答：图(d）最大，图（c)最小221)L(EIPminlj）（48m108930.IIymin单个角钢：222)L(EIP'minlj）（例9-2：已知一中心受压柱受力如图，L=1m，材料为A3钢，一种截面为45mm×6mm的角钢，另一种截面为两个45mm×6mm的角钢组成。试求：1）两种截面时压杆的临界力；2）比较两者的临界力。解：一端固定，一端自由kN1819121089310228112.)(.－kN99911210661810228112.)(.)(＝PL(45456)等边角钢z0y0MPaE510248m1033922.IIz'min两个角钢查角钢表：倍8412.PP)(lj)(ljAPljlj一、基本概念1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3.柔度：APljlj2.细长压杆的临界应力为：—惯性半径。—其中：AIi比）—压杆的柔度（或长细—iL，则：又令惯性半径A/Ii2拉公式！上式称为应力表示的欧AI)L(E2222)i/L(E22E§9–4欧拉公式的适用范围经验公式—惯性半径。—其中：AIi下面来求解矩形、圆形截面的惯性半径i:AIizzbhbh3121＝12h＝AIiyybhhb3121＝12b＝AIiiyz＝2441641dd＝4d＝二、欧拉临界压力公式是假设材料在线弹性范围内的条件下推导出来的，因此当压杆的应力大于材料的比例极限时，临界力计算公式不成立。P临界应力：22EAPljlj＝：时欧拉公式才成立，即当PljE22时欧拉公式才成立。＝PPE2（1）、大柔度杆的分界：PljE22则拉公式求。长细杆），临界力用欧的杆称为大柔度杆（或）满足（1PPPE2求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其）（2P（2）、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式①PS时：sljbassba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临Psbalj为比例极限应力值设p，则：时的柔度为为屈服应力，并令设sscrsiLcr强度条件可确定。问题属于强度问题，由的杆为小柔度杆，此类S22Ecr③临界应力总图②S时：sljbacrPSbasssljEDCBPPE2大柔度杆中柔度杆小柔度杆—压杆的柔度—其中iL附直线经验公式的系数a,b参考表：balj材料（σb,σs强度单位MPa)a（MPa）b（MPa)A3钢σb≥273σs=2353041.12优质碳钢σb≥471σs=3064612.568硅钢σb≥510σs=3535783.744铬钼钢98075.296铸铁332.21.454强铝3732.15松木28.70.19如下：力或临界力的解题步骤总结：求解压杆临界应计算柔度系数：)(1iL。惯性半径由约束情况确定其中：,AIi法：确定临界应力的求解方)(2),,spsp质确定的值根据材料的力学性的大小（，比较载；求解压杆稳定的临界荷代入相应的公式，即可)(3式求：时，其临界力用欧拉公P(I)式求：时，其临界力用经验公P(sII)件求：时，其临界力用强度条sIII)(解：计算柔度系数：)(1iLmmdddAIi40446424其中：125104051131111iL,)a(来说对图,可见)100(p1围满足欧拉公式的适用范kN]).([)(EAPlj2663125160411021022922121，即:)a(,首先计算图一例9-3图中的细长压杆均为圆杆,直径d=160mm,材料是Q235钢,E=210GPa.其中:图(a)两端铰支;图(b)为一端固定,一端铰支;图©为两端固定.试求临界力Plj。10060235PS,Q的已知计算柔度系数：)(1iL222mmdddAIi40446424其中：7.0,)b(2来说对图,由已知可得)100()60(p2s用范围：满足直线经验公式的适:P)b(,lj2，的临界压力再计算图二58710405703222..iLA)ba(APlj,lj2241601058714131026).()..(kN2.4225计算柔度系数：)(1iL333mmdddAIi40446424其中：503.,)c(来说对图,可见)60(s3:P)c(,lj3的临界压力同理计算图三2556104054503333...iLA)ba(APsslj34160106014131026).().(kN2.4855一、压杆的稳定许用应力:1.安全系数法确定容许应力:取稳定安全系数为nW,以表示稳定许用应力，则：WWljWn小于或等于许用应力，即：为了防止压杆失稳，则必须使压杆的工作应力AP＝W式－－稳定条件的基本公WAP§9–5压杆的稳定校核从以前的学习可知，强度条件中的许用应力njx＝－－抗压强度安全系数材料的极限抗压应力；其中，njxWljWn而由公式（12－7）可知，nnWljWWljnn1况下称为折减系数，一般情＝W112239－表下查＝同值可根据不同材料在不其中PiL系数法的稳定条件为：故用＝WAN上式中，P为中心压杆所受的外力，A为杆件的毛截面面积，一般情况可不考虑局部的截面削弱所产生的整体稳定性的影响。；是减去孔以后的净面积其中jAAN稳定性校核公式：总结：压杆的稳定性和强度的校核1）无局部截面削弱的压杆，，所以一般只需校核稳定性即可12）对于有局部截面消弱的压杆，则必须同时校核稳定性和强度条件ANa）稳定性校核公式：（jANb）强度校核公式：（（1）（2）例9－4一金属柱高L=6m,直径D=20cm，两端铰支，承受轴向荷载P=50kN,试校核其稳定性，MPa60＝设该金属的许用应力解AN稳定性校核公式：的值查表＝值可根据而其中iLPN,iL：求长细比AI61＝4dL＝120＝2080.＝折减系数MPa.d.AN66742080105023＝满足稳定条件欧拉公式22)(lEIFcr越大越稳定crF•减小压杆长度l•减小长度系数μ（增强约束）•增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）•增大弹性模量E（合理选择材料）§9-6提高压杆稳定性的措施11-6（1）减小压杆长度l（2）增大弹性模量E（合理选择材料）大柔度杆22)(lEIFcr中柔度杆bacr（3）增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）（4）减小长度系数μ（增强约束）