第26章帕斯卡定理

第26章帕斯卡定理帕斯卡(Pascal)定理设ABCDEF内接于圆（与顶点次序无关，即ABCDEF无需为凸六边形），直线AB与DE交于点X，直线CD与FA交于点Z，直线EF与BC交于点Y，则X、Y、Z三点共线．①证法l设直线AB与EF交于点K，直线AB与CD交于点M．直线CD与EF交于点N．对KMN△及截线XED、ZFA、YBC分别应用梅涅劳斯定理，有1KXMDNEXMDNEK，1MZNFKAZNFKAM，1NYKBMCYKBMCN．将上述三式相乘，并运用圆幂定理，有MAMBMDMC，NDNCNENF．KAKBKEKF．从而1KXMZNYXMZNYK，其中X、Y、Z分别在直线KM、NK、MN上．对KMN△应用梅涅劳斯定理的逆定理，知X、Y、Z三点共线．图261(2)(1)AKCP2PEXTNLDZMYQ2BXTNQ1YQMLZKFEDCBFQ1P3P2P1证法2设过A、D、X的圆交直线AZ于点T，交直线CD于点L．连接TL、FC，则DAT与DLT相补（或相等）．又DAT与DCF相等，从而DLT与DCF相补或相等，即知CFLT∥．飘理，TXFY∥，LXCY∥．于是，TLX△与FCY△为位似图形．由于位似三角形三对对应顶点的连线共点（共点于位似中点），这里，直线TF与LC交于点Z，则另一对对应的点X、Y的连线XY也应过点Z，故X，Y、Z三点共线．证法3连XZ、YZ，过X分别作1XPDC上于P1，作2XPAF于2P，作3XPAD于3P，过Y分别作1YQDC于1Q，作2YQAF于2Q．则41sinsinsinsinsinsinXZPEDZDAXXZPADEXAZ321132///1///XPXAXPXZXPXDXPXZXPXDXPXA．同理，1sinsinsin1sinsinsinIYZQZCBCFYYZQYCFYFZ．注意到EDZYFC，ADEYFZ，DAXZCB，XAZYCF．所以2211sinsinsinsinXZPYZQXZPYZQ，即sinsinsinsinXZAYZFXZDYZC，于是有1122XPYQXPYQ．连12PP、12QQ，则Z、1P、X、2P及Z、1Q、Y、2Q分别四点共圆，从而1212XPPYQQ△∽△，亦即有22XZPYZQ，故X、Z、Y三点共线．证法4如图262，连AC、CE、AE．在圆内接四边形ACEF中，有YEC与ZAC相等；在圆内接四边形ABCE中，有YCE与XAE相等或相补；在圆内接四边形ACDE中，ACZ与AEX相补或相补．故可以在ACE△的边CE上或其延长线上取一点P，使YPCAEX，YPEACZ．从而PYECZA△∽△，CYPAEX△∽△．FFABDXZQYCPEEPCYQZXDBA(1)(2)图262设AEX与ACZ相交于另一点Q，则AQXAEXCPY，AQZACZEPY．所以AQX与AQZ相等或相补．故Z、Q、X三点共线．又EQCAQECQAAXECZAPYCPYEEYC于是，知C、Y、Q、E四点共圆．所以，CQYCEYPEY(或180180PEYCAZCQZ(或CQZ)．从而Y、Q、Z三点共线．故X、Y、Z三点共线．注：此定理中，当内接于圆的六边形ABCDEF的六顶点改变其宇序，两两取对边AB、DE、BC、EF、CD、AF共有60种不同情形，相应有60条帕斯卡Pascal直线．六个取定的点，有15条连线，相交产生另外45个点，这些点中每一点有4条帕斯卡线．这些帕斯卡线，每3条共点，产生20个其他的点，称为斯坦纳Steiner点，每条线上一个，而且这些帕斯卡线，每3条共点，还产生其他60个点，称为寇克曼Kirkman点，每3个在一条直线上．20个斯坦纳点在15条其他直线上，每条线上4个点．60个寇克曼点在20条其他直线上，每条线上3个．①当六边形中有两顶点重合，即对于内接于圆的五边形，亦有结论成立；圆内接五边形ABCDEF中A（与B重合）处的切线与DE的交点X、BC与FE的交点Y、CD与AF的交点Z三点共线，如图263(1)．(F)EB(C)DYE(F)(C)B(B)AE(F)(D)ZYXZXZXYAACDFEA(B)YXZDC(2)(4)图263(3)(1)当六边形变为四边形ABCDEF或ABCDEF等时，如图263(2)、(3)，结论仍成立．当六边形变为三角形ABCDEF时，三组边AB、CD、EF变为点，如图263(4)，仍有结论成立．此时三点所共的线也称为莱莫恩lemoine线（参见第10章性质19）．下面从四个方面看一些应用的例子．1．指出在圆上的六点应用帕斯卡定理例1如图264，过ABC△的顶点A、B、C各作一直线使之交于一点P而交外接圆于A、B、C．又在外接圆上任取一点Q，则QA、QB、QC与BC、CA、AB对应的交点X、Z、Y三点共线．证明在圆内接六边形BCAAQB中，其三双对边BC与AQ、CA与QB、AA与BB的交点分别为X、Z、P，由帕斯卡定理知P、X、Z三点共线．LYXPQC'B'A'BA图264在圆内接六边形CBAAQC中，其三双对边CB与AQ、BA与QC、AA与CC的交点务别为X、Y、P，由帕斯卡定理知Y、P、X三点共线．故X、Z、Y三点共线．例2（IMO48预选题）已知ABC△为确定的三角形，1A，1B，1C分别为边BC、CA、AB的中点．P①单墫译．[美]RA约翰逊．近代欧式几何学]M．上海：上海教育出版社，2000；208．为ABC△外接圆上的动点，1PA、1PB、1PC分别与ABC△的外接圆交于另外的点A、B、C．若A、B、C、A、B、C是不同的点，则直线AA、BB、CC交出一个三角形．证明：这个三角形的面积不依赖于点P．证明如图265，设0A、0B、0C是直线AA、BB、CC交出的三角形的三个顶点．B0B'D0A'C''A1B1C1ABCP图26-5下面，我们证明有00012ABCABCSS△△，这便可说明000ABC△的面积不依赖于点P的选取．注意到图中的圆内接六边形ABCCPA，由帕斯卡定理，知三双对边AB与CP、BC与PA、CC与AA的交点1C、1A、0B三点共线，即知点0B在ABC△的中位线11AC上．类似地，可证点0A、0C分别在直线11BC、11AB上．由11ACCA∥，得00101BCAACB△∽△，有0010010BCACACBC．同理，由11BCCB∥，有1001000ACBCBCAC．从而000000BCBCACAC，于是00BBAA∥．故000012ABCABCABCSSS△△△．2．作出一些点构成圆上六点应用帕斯卡定理例3（2004年国家队培训题）设与ABC△的外接圆内切并与边AB、AC相切的圆为aC，记ar为圆aC的半径，类似地定义br、cr，r是ABC△的内切圆半径，证明：4abcrrrr≥．证明如图266，设圆aC与AB、AC、ABC△的外接圆分别切于点D、E、F，设M、N分别为AB、AC中点，I为ABC△的内心．ECaOaIDCBFMNA图26-6这时，F为圆aC与ABC的位似中心，且过M的切线平行于BA，因而M、D为一双对应点，于是F、D、M三点共线．（也可设直线FD交ABC于M，则证得M为BA的中点．）同理，F、E、N三点共线．而BN、CM分别为ABC、BCA的平分线，则知其交点为I．注意到圆内接六边形ABNFMC，由帕斯卡定理知D、I、E三点共线．记圆aC的圆心为aO，由DEAI，有21cos2aaarAOAOADArAIADAI．同理，21cos2brBr，21cos2crCr．由1tantan122tan2tantantan222BCABCBC有tantantantantantan1222222ABBCCA．因此222111coscoscos222abcrrrABCrrr2223tantantan222ABC3tantantantantantan222222ABBCCA2221tantantantantantan42222222ABBCCA≥．故4abcrrrr≥．例4（2007年国家集训队测试题）凸四边形ABCD内接于圆，与边BC相交的一个圆与圆内切，且分别与BD、AC相切于点P，Q．求证：ABC△的内心与DBC△的内心皆在直线PQ上．证明如图267，设圆的圆心为O，与BC相交且与相内切的圆的圆心为1O，切点为T，显然O、1O、T三点共线．设DB与CA交于点H，直线PQ交CD于R，直线TR交O于F，CT交1O于M，直线TP交O于E．II'ΓONHFRTPEDCBA图26-7这时，存在一个以点T为位似中心的位似变换使得1O变为O，因此MC，ND，PE，直线BD变为过点E且平行于BD的O的切线，所以E为BD的中点．由=TMTCTNTD，有2222DPDNDTDTCQCMCTCT，即DPDTCQCT．①又CDH△及截线RQP应用梅涅劳斯定理，有1CRDPHQRDPHQC，即CRCQRDDP．②又DFTSCRCFCTRDSDFDT△CFT△．又①、②、③知1CFDF，即知F是弧CD的中点．显然，BCD△的内心I为CE与BF的交点．注意到圆内接六边形ETFBDC，由帕斯卡定理，知P、I、R三点共线．所以BDC△的内心I在PQ上．同理，ABC△的内心I也在PQ上．3．证明六点共圆应用帕斯卡定理例5（2005年国家集训队测试题）如图268，点P在ABC△内部，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，过点A分别作直线BP、CP的蚕线，垂足分别为M、N．求证：ME、NF、BC三线共点．BAMEPCDQFN图26-8证明由题设，有90AEPAFPAMPANP，从而，A、N、F、P、E、M六点都在以AP为直径的圆上．于是，对于圆内接六边形AFNPME，它的三组对边AF与PM、FN与ME、NP与EA的交点分别为B、Q、C，由帕斯卡定理，知B、Q、C三点共线，从而点Q在BC上．故ME、NF、BC三线共点．例6（2002年澳大利亚国家数学竞赛题）已知ABC△为锐角三角形，以AB为直径的K分别交AC、BC于点P、Q．分别过A和Q作K的两条切线交于点R，分别过B和P作K的两条切线交于点S．证明：点C在线段RS上．证明如图269，设RQ与PS、AC与RK、BC与KS分别交于W、Y、N，连接PK、WK、QK、WN、WY、BP．则YPSQNWCBKAR图26-91118022YKWYKQWKQAKQPKQAKPABPAPSYPW，由此知Y、P、K、W四点共圆．又PS是K的切线，于是90KYWWPK．同理，90KNWKQW．因此，P、Y、N、Q在以KW为直径的圆上，即W、Y、P、K、Q、N六点共圆．在这个圆内接六边形中，应用帕斯卡定理，三双对边KP与QW、PY与QN、PW与KN的交点R、C、S共线．故点C在线段RS上．4．注意特殊情形时帕斯卡定理的应用例7（2005年第18届韩国数学奥林匹克题）在RtABC△中，90A，BC．O是ABC△的外接圆的圆心，Al、Bl是O的两条切线，切点分别为A、B．设ASBCl∩，BDACl∩，EABDS∩，ATCEl∩，又设P是Al上的点，且使得AEPl，()QQC是CP与O的交点，R是QT与O的交点，令AUBRl∩．证明22SUSPSATUTPTA．证明如图