含有函数记号f(x)有关问题解法

含有函数记号“()fx”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()fx的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出()fx，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知()211xfxx,求()fx.解：设1xux,则1uxu∴2()2111uufuuu∴2()1xfxx2.凑合法：在已知(())()fgxhx的条件下，把()hx并凑成以()gu表示的代数式，再利用代换即可求()fx.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3311()fxxxx，求()fx解：∵22211111()()(1)()(()3)fxxxxxxxxxx又∵11||||1||xxxx∴23()(3)3fxxxxx，(|x|≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知()fx二次实函数，且2(1)(1)fxfxx+2x+4,求()fx.解:设()fx=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxaxbxcaxbxc=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb∴213()22fxxx4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y=()fx为奇函数,当x0时,()lg(1)fxx,求()fx解:∵()fx为奇函数，∴()fx的定义域关于原点对称，故先求x0时的表达式。∵-x0,∴()lg(1)lg(1)fxxx,∵()fx为奇函数，∴lg(1)()()xfxfx∴当x0时()lg(1)fxx∴lg(1),0()lg(1),0xxfxxx例5．一已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.解：∵()fx为偶函数，()gx为奇函数，∴()()fxfx,()()gxgx,不妨用-x代换()fx+()gx=11x………①中的x,∴1()()1fxgxx即()fx－1()1gxx……②显见①+②即可消去()gx,求出函数21()1fxx再代入①求出2()1xgxx5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()fx的表达式例6：设()fx的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()fxfxfyxy,及(1)f=1,求()fx解：∵()fx的定义域为N，取y=1,则有(1)()1fxfxx∵(1)f=1,∴(2)f=(1)f+2,(3)(2)3ff……()(1)fnfnn以上各式相加，有()fn=1+2+3+……+n=(1)2nn∴1()(1),2fxxxxN二、利用函数性质，解()fx的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7已知()()2()()fxyfxyfxfy,对一切实数x、y都成立，且(0)0f,求证()fx为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为()()2(0)()fyfyffy……①在①中令y=0则2(0)f=2(0)f∵(0)f≠0∴(0)f=1∴()()2()fyfyfy∴()()fyfy∴()fx为偶函数。2.确定参数的取值范围例8：奇函数()fx在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，∵()fx为函数，∴2(1)(1)fmfm又∵()fx在（-1，1）内递减，∴221111110111mmmmm3.解不定式的有关题目例9：如果()fx=2axbxc对任意的t有(2)2)ftft,比较(1)(2)(4)fff、、的大小解：对任意t有(2)2)ftft∴x=2为抛物线y=2axbxc的对称轴又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=f(3)∵在［2，＋∞)上，()fx为增函数∴f(3)f(4),∴f(2)f(1)f(4)