2017年江苏省高数复习资料微分方程

如果对你有帮助，请下载使用！1第六单元微分方程一、微分方程的一般概念1、定义：含有未知函数的导数或微分的等式。2、阶：未知函数最高阶导数的阶数。（一阶、二阶）3、通解：含有与阶数相同个数的任意常量，且不能合并。4、特解：不含任意常量的解。5、初始条件：一阶：,00yyxx二阶：y(x0)=y0,y/(x0)=y/0二、一阶微分方程的解法1、可分离变量方程：形如F(x)g(y)dx+f(x)G(y)dy=0或y/=f1(x)f2(y)，分离变量后为：0)()()()(dyygyGdxxfxF,两端同时积分即可求出通解。2、齐次方程：形如)(xyfy，令uxuyxuyxyu,,则代入原方程，化为关于以u为新的未知函数的可分离变量方程，求出u，从而得到y的表达式。3、一阶线性方程：y/+P(x)y=Q(x)①当Q(x)≡0时，y/+P(x)y=0称为一阶线性齐次方程，用分离变量法求解。②当Q(x)≠0时，y/+P(x)y=Q(x)称为一阶线性非齐次方程，其通解求法为（1）公式法：))(()()(cdxexQeydxxPdxxP（2）常数变易法：先解出y/+P(x)y=0的通解为y=cu(x),再将c看作函数c(x)，求出导数y/=c/(x)u(x)+c(x)u/(x)，代入原方程，求出c(x)，从而得到其通解。三、二阶常系数线性微分方程的解法1、一般形式：y//+py/+qy=f(x)，其中p、q为常数，f(x)称为自由项。2、解的结构：若Y是y//+py/+qy=0的通解，y＊是y//+py/+qy=f(x)的一个特解，则y=Y+y＊是y//+py/+qy=f(x)的通解。3、当f(x)≡0时，y//+py/+qy=0称为二阶常系数线性齐次微分方程。解法：特征根法列出特征征方程：02qprr，解出r1,r2，讨论：（1）若r1≠r2，通解为xrxrececy2121（2）若r1=r2=r，通解为rxexccy)(21（3）若ir，通解为xexcxcy)cossin(214、当f(x)≠0时，y//+py/+qy=f(x)称为二阶常系数线性非齐次微分方程。解法：先求出y//+py/+qy=0的通解Y，再求特解y＊y＊的求法：（1）自由项f(x)为n次多项式Pn(x)时，设)(*xQxynk（Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式，其系数设为A、B、…）如果对你有帮助，请下载使用！2讨论：特征根r1≠r2≠0,取k=0特征根r1或r2=0,取k=1特征根r1=r2=0,取k=2（2）自由项f(x)=Pn(x)eαx时，设)(*xQxynkeαx（Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式，其系数设为A、B、…）讨论：α不是特征方程的根，取k=0α是特征方程的单根，取k=1α是特征方程的重根，取k=2（3）自由项f(x)=eαx（Acosβx+Bsinβx）时，设kxy*eαx(Ccosβx+Dsinβx）讨论：α±βi不是特征方程的根，取k=0α±βi是特征方程的单根，取k=1四、可降阶的微分方程1、一般形式：y(n)=f(x)2、求解方法：两边同时积分，得到n-1阶的微分方程，接连积分n次，含有n个任意常数项。五、y//=f(x,y/)型微分方程（不含未知函数的一次项）求解方法：右端不显含未知函数，设y/=p,则pdxdpy，原方程变为p/=f(x,p)，是一个关于变量x,p的一阶微分方程，设其通解为p=φ(x,c1),再由),(1cxdxdydxdyp得两端积分得21),(cdxcxy六、y//=f(y,y/)型微分方程（不含自变量的项）求解方法：右端不显含自变量的项，设y/=p,则dydppdxdydydppy，将y/=p，dydppy代入原方程，使其降为关于p的一阶微分方程，解出p后，再用p=y/代入，得到关于y/的微分方程，再求出y,得到方程的通解。例如：求02yyy的通解解：令dyydpppdydpypdydppypy11,0:,,2即代入方程得则两端同时积分得：ycyycpcyp111,,lnlnln也就是即所以，21cxcey。例1求xyy/=1-x2的通解解：分离变量dxxxydy21如果对你有帮助，请下载使用！3两端积分dxxxdxxxydy)1(12，cxxy2221ln21即：x2+y2=2lnx+c例2求(xy2+x)dx+y(1+x2)dy=0的通解解：原方程变形为x（y2+1)dx+y(1+x2)dy=0分离变量dxxxdyyy2211两端积分cxydxxxdyyy)1ln(21)1ln(21,112222即：（1+x2）(1+y2)=c例3已知f/(x)=1+x2,且f(0)=1,求f(x)(解初值问题)解：分离变量df(x)=(1+x2)dx两端积分cxxxfdxxxdf3231)(,)1()(因f(0)=1,即1=0+c,所以c=1故131)(3xxxf例4求xyeyyx的通解（奇次方程，变量替换）解：方程变形为uxuyxuyxyuxyexyxy,,,1则令代入前式，化简得dxxeduexuxuu21,1，两端积分得cexcxexyu1,1即例5求2xxexyy的通解（一阶非齐次方程，化成一般形式）解：法一（公式法）因2)(,)(xxexQxxP所以)())((2)()(cdxexeecdxexQeyxdxxxdxdxxPdxxP法二（常数变易用法）由y/+xy=0得xdxydy两端积分222,21lnxceycxy设原方程的通解为22)(xexcy，则2222)()(xxexxcexcy如果对你有帮助，请下载使用！4代入原方程得2222222)()()(xxxxxeexxcexxcexc即cedxxexcxexcxxx222222)(,)(所以，通解为222xxecey例6设曲线y=f(x)上任意一点(x,y)处的切线斜率为2xxy，且该曲线经过点)21,1(，求（1）求曲线y=f(x)（2）求曲线y=f(x),y=o,x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。解：（1）由题意知221,xyxyxxydxdy即所以)21()(21(21(cxxcdxexeydxxdxx由3121)(,0,21xxfcyx故得（2）287144)(107106102xdxxdxxfVx例7设函数y=f(x)由微分确定，求（1）函数y=f(x)的表达式（2）讨论函数y=f(x)在（0,+∞）内的单调性解：（1）方程化为21yxy，则由xxycyx1,101故得（2）因在（0,+∞）内0112xy故xxy1在（0,+∞）内的单调增加。例8设f(x)为连续函数，且由xxfxdtttf02)()(所确定，求f(x).解：两端同时求导得xf(x)=2x+f/(x),记y=f(x),上式变为y/-xy=-2x,所以2)2())2((222)()(222xxxdxxdxxceceecdxexey当x=0时，0,0)0(,)0(0)(0002xyffdtttf即从而代入222xcey得c=-2，故2222xey（初始条件不明显，可取上限x=0）例9求y//+y/-2y=0的通解解：特征方程为r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2（r1≠r2）所以通解为xxececy221xy/+y=2x如果对你有帮助，请下载使用！5例10求y//+2y=0的通解解：特征方程为r2+2=0,解得ir2（无2,0,或看作）所以通解为xcxcy2sin2cos21例11求y//+y/=0的通解解：特征方程为r2+r=0,解得r1=0,r2=-1（r1≠r2）所以通解为xeccy21例12求以y=(c1+c2x)ex为通解的二阶线性常系数齐次微分方程。解：法一：由y=(c1+c2x)ex知其特征根为重根r=1，相应的特征方程为0)1(2r,即r2-2r+1=0,从而知其对应的微分方程为：y//-2y/+y=0法二：因y=(c1+c2x)ex……（1）y/=c2ex+(c1+c2x)ex……（2）y//=2c2ex+(c1+c2x)ex……（3）(3)-(2)×2+(1),消去c1,c2得y//-2y/+y=0例13已知二阶线性常系数齐次方程的两个特解为y1=ex,y2=e2x,求相应的微分方程。解：由y1=ex及y2=e2x可知，原方程必有特征根r1=1,r2=2,故特征方程为（r-1）(r-2)=0,即r2-3r+2=0,所求的微分方程为：y//-3y/+2y=0例14求y//+y/-2y=e-x的通解(Qn(x)为x的零次方)解：对应的齐次方程的特征方程为r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1ex+c2e-2x因自由项f(x)=e-x,α=-1不特征根，取k=0,故设xxAeyAey)(,**(xkQn(x)e-x)xAey)(*，代入原方程解得xeyA21,21*因此所以，通解为xxxeececy21221例15求微分方程y//+3y/=3x的通解解：对应的齐次方程的特征方程为r2+3r=0,解得r1=0,r2=-3,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1+c2e-3x，因自由项f(x)=3x,r1=0是特征方程的单根，取k=1,故设(xkQn(x)aybaxybaxxy2)(,2)(),(***代入原方程，得2a+6ax+3b=3x,比较系数有：2a+3b=0,6a=3,解得31,21ba,因此)3121(*xxy所以，通解为xxeccyx31212321如果对你有帮助，请下载使用！6例16求微分方程y//+2y/+y=xex的通解解：对应的齐次方程的特征方程为r2+2r+1=0,解得r1=r2=-1,所以，对应的齐次方程的通解为Y=（c1+c2x）e-x因自由项f(x)=xex,α=1不是特征根，取k=0,故设(xkQn(x)ex)xxxxxeBAxAeyeBAxAeyeBAxy)(2)(,)()(,)(***代入原方程整理得：4Ax+4(A+B)=x,比较系数有：4A=1,4(A+B)=0,解得41,41BA，因此xexy)1(41*所以，通解为：xxexexccy)1(41)(21例17求微分方程y///=e2x-cosx的通解解：对所给方程连续积分三次，得：例18求y///=xex满足0111xxxyyy的特解。解：对所给方程连续积分三次，得：1cexedxxeyxxx例19求微分方程(1+x2)y//=2xy/的通解（不含y,为y//=f(x,y/)型，非常系数）解：设y/=p,则y//=p/,代入方程得xpdxdpx2)1(2分离变量得：cxpdxxxpdp)1ln(ln,1222两端积分得y/=p=c1(1+x2)(取c1=±ec)即dy=c1(1+x2)dx,两端同时积分得231)31(cxxcy例20求21yy当1,000xxyy的特解（不含y,为y//=f(x,y/)型，常系数非齐次）解：设y/=p,则y//=p/,代入方程得12pp分离变量得：)tan(,arctan,1112cxpcxpdxpdp两端积分得所以：222)4cos(ln)4cos()4cos()4tan(cxcxxdcdxxy