2012年全国初中数学竞赛决赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||aabcabc可以化简为（）．（A）2ca（B）2a2b（C）a（D）a2．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=xb（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）3．如果ab，为给定的实数，且1ab，那么1121aabab，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1（B）214a（C）12（D）144．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1（B）2（C）3（D）45．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的（第1题图）概率为0123pppp，，，，则0123pppp，，，中最大的是（）．（A）0p（B）1p（C）2p（D）3p二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.7．如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是.8．如果关于x的方程x2+kx+43k2－3k+92=0的两个实数根分别为1x，2x，那么2012220111xx的值为．9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.（第6题图）（第7题图）（第10题图）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数232yxmxm（），当13x时，恒有0y；关于x的方程2320xmxm（）的两个实数根的倒数和小于910．求m的取值范围．12．如图，⊙O的直径为AB，⊙O1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O1交于点D，且ODCD．点E在OD上，且DCDE，BE的延长线与⊙O1交于点F，求证：△BOC∽△1DOF．13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数.当a≥2012时，求a的最小值.14．求所有正整数n，使得存在正整数122012xxx，，　，，满足122012xxx，且122012122012nxxx.（第12题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知0bac，且bc，所以22||()||()()()aabcabcaabcabca．2．D解：由题设知，2(3)a，(3)(2)b，所以263ab，.解方程组236yxyx，，得32xy，；32.xy，所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3．D解：由题设知，1112aabab，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244aababab，中位数为(1)(1)44224aabab，于是4423421444abab.4．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，xy，均为非负整数.由题设可得2(2)2()xnyynxn，，消去x得(2y－7)n=y+4，2n=721517215)72(yyy.因为1527y为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．5．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636pppp，，，，因此3p最大．二、填空题6．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，32x≤48798x≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．7．8解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a.由题设易知△BFN∽△DAN，所以21ADANDNBFNFBN，由此得2ANNF，所以23ANAF.在Rt△ABF中，因为2ABaBFa，，所以225AFABBFa，于是25cos5ABBAFAF.由题设可知△ADE≌△BAF，所以AEDAFB，0018018090AMEBAFAEDBAFAFB.于是25cos5AMAEBAFa，（第7题）245315MNANAMAFAMa，415MNDAFDSMNSAF.又21(2)(2)22AFDSaaa，所以2481515MNDAFDSSa.因为15a，所以8MNDS.8．32解：根据题意，关于x的方程有=k2－4239(3)42kk≥0，由此得(k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+49=0，解得x1=x2=32.故2012220111xx=21x=23．9．8解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知23130ab，由此得0≤b≤43.又(1)(2)2mmab，所以22(1)(2)abmm.于是0≤130(1)(2)bmm≤43，87≤(1)(2)mm≤130，由此得8m，或9m.当8m时，405ba，；当9m时，2035ba，，5522aba，不合题设.故8m．10．223解：如图，连接AC，BD，OD.由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°.依题设∠BFC=90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF=∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此BCBACFAD.因为OD是⊙O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是2DEOEDCOB.因此223DECDADCEAD，.由△AED∽△CEB，知DEECAEBE．因为322BAAEBEBA，，所以32322BAADADBA，BA=22AD，故ADCFBCBA32222BC.三、解答题11．解：因为当13x时，恒有0y，所以23420mm（）（），即210m（），所以1m．…………（5分）当1x时，y≤0；当3x时，y≤0，即2(1)(3)(1)2mm≤0，且233(3)2mm≤0，解得m≤5．…………（10分）设方程2320xmxm的两个实数根分别为12xx，，由一元二次方（第10题）程根与系数的关系得121232xxmxxm，．因为1211910xx，所以121239210xxmxxm，解得12m，或2m．因此12m．…………（20分）12．证明：连接BD，因为OB为1O的直径，所以90ODB．又因为DCDE，所以△CBE是等腰三角形．…………（5分）设BC与1O交于点M，连接OM，则90OMB．又因为OCOB，所以22BOCDOMDBC12DBFDOF．…………（15分）又因为1BOCDOF，分别是等腰△BOC，等腰△1DOF的顶角，所以△BOC∽△1DOF．…………（20分）13．解：设a－b=m（m是素数），ab=n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab=(a－b)2，所以(2a－m)2－4n2=m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n)=m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2nm2，2a－m－2n1.（第12题）解得a2(1)4m，n214m.于是b=a－m214m（）.…………（10分）又a≥2012，即2(1)4m≥2012.又因为m是素数，解得m≥89.此时，a≥41)(892=2025.当2025a时，89m，1936b，1980n.因此，a的最小值为2025.…………（20分）14．解：由于122012xxx，，　，都是正整数，且122012xxx，所以1x≥1，2x≥2，…，2012x≥2012．于是122012122012nxxx≤1220122012122012．…………（10分）当1n时，令12201220122201220122012xxx，，　，，则1220121220121xxx.…………（15分）当1nk时，其中1≤k≤2011，令1212kxxxk，，　，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012kkxkkxkkxk,，，则1220121220121(2012)2012kkxxxk1kn．综上，满足条件的所有正整数n为122012，　，　，　．…………（20分）