2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题及答案

初中数学竞赛初赛试卷第1页（共8页）2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）计算2222010200920102009201122009的值为（）．（A）1（B）1（C）2009（D）2010【解】选A．原式22222222010200920102009120102009(20112)20102009．（2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母a的面相对的面内标注的字母为（）．（A）b（B）d（C）e（D）f【解】选B．（3）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，6ABBCCD,5BE，则梯形ABCD的面积等于（）．（A）13（B）8（C）132（D）4【解】选D．如图，过点E作//EFAB交BC于点F，则12BFBC,11()(6)22EFABCDBC,又∵BCAB,∴EFBC∴在Rt△BFE中，222EFBFBE．∴22211[(6)]()(5)22BCBC，即2680BCBC，解得2BC或4BC，则2EF或1EF,∴4ABCDSEFBC梯形．ecbdfa第（2）题ABCDEFABCDE第（3）题初中数学竞赛初赛试卷第2页（共8页）（4）某个一次函数的图象与直线132yx平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点（2，4），则在线段AB上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（）．（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个【解】选B．根据题意，设一次函数的解析式为12yxb，由点（2，4）在该函数图象上，得14(2)2b，解得3b．所以，132yx．可得点A（6，0），B（0，3）．由06x≤≤，且x为整数，取0,2,4,6x时，对应的y是整数．因此，在线段AB上（包括点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个．（5）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（23ar≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）．（A）2π3r（B）2(33π)3r（C）2(33π)r（D）2πr【解】选C．如图，当圆形纸片运动到与A的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O作两边的垂线，垂足分别为D，E，连1AO，则Rt△1ADO中，130OAD，1ODr，3ADr．∴1211322ADOSODADr．有11223ADOADOESSr四形形．∵由题意，1120DOE，得12π3ODESr扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π33)3rr（2(33π)r．二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为．第（5）题AED1O第（6）题初中数学竞赛初赛试卷第3页（共8页）CABDMNCABDM第（8）题【解】710．根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率710P．（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是．【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为358（个）；第8行实心圆的个数为5813（个）；第9行实心圆的个数为81321（个）．（8）如图，在△ABC中，中线CM与高线CD三等分ACB，则B等于（度）.【解】30.根据题意，可得CDAB，AMMB，ACDMCDBCM.∵ACDMCD，CDCD，90CDACDM,∴△ACD△MCD.∴12ADDMAM.点数之积378962141618378921242756789638972第1行第2行第3行第4行第5行第6行……第（7）题初中数学竞赛初赛试卷第4页（共8页）过点M作MNBC于点N,∵DCMNCM,CMCM,90CDMCNM,∴△DCM△NCM.∴DMNM.于是12NMMB，∴在Rt△MNB中，30B.（9）有n个连续的自然数1，2，3，…，n，若去掉其中的一个数x后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n和x的值分别是.（参考公式：2)1(321nnnSn）【解】30n，1x；31n，16x；32n，32x.由已知，n个连续的自然数的和为(1)2nnnS.若xn，剩下的数的平均数是12nSnnn；若1x，剩下的数的平均数是1112nSnn，故16122nn≤≤，解得3032n≤≤.当30n时，30(301)29162x，解得1x；当31n时，31(311)30162x，解得16x；当32n时，32(321)31162x，解得32x.（10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x元，y元，z元，根据已知条件，列出方程组3714,41016.xyzxyz消去z，得23xy．③将③代入①，得82zy．④①②初中数学竞赛初赛试卷第5页（共8页）由③，④得10xyz．有2()20xyz．所以，小莹应付20元．方法二：(37)(410)2()mxyznxyzxyz，(34)(710)()222mnxmnymnzxyz．∴342,7102,2.mnmnmn解得4,6.nm∴2()6(37)4(410)61441620xyzxyzxyz．三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）已知，抛物线2yaxbxc（0a）经过A、B两点，图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定a，b，c的符号；（Ⅱ）当b变化时，求abc的取值范围．【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得0a．……3分由抛物线过点(0,1)，得10c．……6分由抛物线对称轴在y轴的右侧，得02ba，又0a，得0b．∴0a，0b，0c．……………………………………10分（Ⅱ）由抛物线过点(1,0)，得0abc．即1ab，由0a，得1b．……………………………………16分∴10b，∴(1)12abcbbb．∴20abc．……………………………………20分（12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为,ab，斜边长为c．若,,abc均为整数，且1()3cabab，求满足条件的直角三角形的个数．【解】由勾股定理，得222cab．……………………………………3分又1()3cabab，得2222112[()]()()()393cabababababab．即2222212()()293ababababaabb．整理，得6()180abab．即(6)(6)18ab．………………………8分xyO)0,1(A)1,0(B初中数学竞赛初赛试卷第6页（共8页）因为,ab均为正整数，不妨设ab，可得61,618,ab或62,69,ab或63,66.ab可解出7,24,25,abc或8,15,17,abc或9,12,15.abc所以，满足条件的直角三角形有3个．……………………………………20分（13）（本小题满分20分）如图，在△ABC中，45ABC，点D在边BC上，60ADC，且12BDCD．将△ACD以直线AD为轴做轴对称变换，得到△ACD，连接BC，（Ⅰ）求证BCBC；（Ⅱ）求C的大小．（Ⅰ）【证明】∵△ACD是△ACD沿AD做轴对称变换得到的，∴△ACD≌△ACD.有CDCD，ADCADC．………………3分∵12BDCD，60ADC，∴12BDCD，18060BDCADCADC．……5分取CD中点P，连接BP，则△BDP为等边三角形，△BCP为等腰三角形，…8分有113022BCDBPDBDC．∴90CBD，即BCBC．……10分（Ⅱ）【解】如图，过点A分别作,,BCCDBC的垂线，垂足分别为,,EFG．∵ADCADC，即点A在CDC的平分线上，∴AEAF．……13分∵90CBD，45ABC，∴45GBACBCABC，即点A在GBC的平分线上，∴AGAE．……16分ABCDCABCDCPBDCFGAC初中数学竞赛初赛试卷第7页（共8页）BCAD图（b）2O1O于是，AGAF，则点A在GCD的平分线上．…………………………18分又∵30BCD,有150GCD．∴12ACD75GCD．∴C75ACD．………………………20分（14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（a），在正方形ABCD内，已知两个动圆1O与2O互相外切，且1O与边AB、AD相切，2O与边BC、CD相切．若正方形ABCD的边长为1，1O与2O的半径分别为1r，2r．①求1r与2r的关系式；②求1O与2O面积之和的最小值．（Ⅱ）如图（b），若将（Ⅰ）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为32的矩形，其他条件不变，则1O与2O面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．【解】（Ⅰ）如图（a），在正方形ABCD中，连接AC，显然1O与2O在AC上，且112AOr，1212OOrr，222COr，由11222ACAOOOCO，∴1122222rrrr．∴1222rr．………………………5分②根据题意，1r12≤，2r12≤，可得211222rr≤，即322≤1r12≤．∵1O与2O的面积之和2212π()Srr，BACD图（a）1O2O1OACD图（a）2OB初中数学竞赛初赛试卷第8页（共8页）∴2211(22)πSrr21122(22)642rr21222()3222r．这里，由322≤22212≤，…………8分∴当1222r时，1O与2O是等圆，其面积和的最小值为(322)π．……………………………………10分（Ⅱ）如图（b），作辅助线，得到Rt△12OOP，则1212OOrr，1121232OPABrrrr，212121OPBCrrrr．∵在Rt△12OOP中，2221212OOOPOP，∴2221212123()()(1)2rrrrrr．即2121213()5()04rrrr．解得12532rr或12532rr．由于1235122rr，故12532rr不合题意，应舍去．∴12532rr．……………………………………15分∵1O与2O的面积之和2212π()Srr，而2221212()2rrrr≥，当且仅当12rr时，等号成立，∴当12rr时，1O与2O面积和存在最小值，最小值为25(3)2π2，即375(3