解三角形的实际应用举例

NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引解三角形的实际应用举例第一课时NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引1、正弦定理2sinsinsin()abcRABCR其中为外接圆的半径2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC基础知识回顾NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．上方下方NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引3．方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．【思考探究】仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引．【思考探究】如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引4、坡度与坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面与垂直高度h和水平宽度l的比叫坡度hltanahilaNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引求距离问题要注意：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．探究点一：测量距离问题NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引解三角形实际应用举例例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为，AC长为1.40m，计算BC的长度（结果精确到0.01m）．620（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？探究点一：测量距离问题NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引60'206ABC分析：这个问题就是在中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,ABC'2066'20660BAC求BC的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BC。ABC解：由余弦定理，得AACABACABBCcos2222答：顶杠BC长约为1.89m.)(89.1571.3'2066cos40.195.1240.195.122mBC1.40m1.95m实例讲解NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引变式训练1（1）轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h、15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.解析：如图，由题意可得OA＝50，OB＝30.而AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos120°＝502＋302－2×50×30×－12＝2500＋900＋1500＝4900，∴AB＝70.答案：70NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引变式训练1（2）如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD．2522m解析由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．ANO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)分析：本题解决的关键是什么？分布在哪个三角形中？能直接利用正、余弦定理求解吗？若不能，则需要在哪几个三角形中先求出哪几条边的长度？NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6000m，∠BCD＝30°，根据正弦定理BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理有AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝100042(m)，实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6(m)．解析：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000m，∠ACD＝45°，根据正弦定理AD＝CDsin45°sin60°＝23CD，从中你能学到代值运算的技巧吗？NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引课外探究如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θtanθ＝12的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引课时小结解生活实际问题的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引布置作业1、书面作业：课本P61练习2第1（3）（4）题和第2题2、检查作业：（1）步步高《40分钟课时训练》（2）学业水平测试题A卷NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引解析：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t时刻甲，乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＝152tsin45°＝15t，y1＝x1＝15t.由tanθ＝12可得，cosθ＝255，sinθ＝55.故x2＝105tsinθ＝10t，y2＝105tcosθ－40＝20t－40.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引(1)令t＝3，P、Q两点的坐标分别为(45,45)、(30,20)，|PQ|＝45－302＋45－202＝850＝534，即出发后3小时两船相距534海里．(2)由题意得：|PQ|＝x2－x12＋y2－y12＝10t－15t2＋20t－40－15t2＝50t2－400t＋1600＝50t－42＋800≥202，∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值202.即两船出发后4小时时距离最近，最近距离为202海里．注：还可以用向量法求解.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引解三角形的实际应用举例第二课时NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为塔的底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角和视角)，再给你一把尺子(可以测量地面上两点间距离)，图中给出的是在一侧河岸地面C点测得仰角∠ACB＝α，请设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．探究点二：测量高度问题NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引解析：方法一：选择水平基线BC，在BC的延长线上取一点D，在D点测得仰角∠BDA＝β，同时测得CD的长度为a.在△ADC中∠DAC＝α－β，在△ADC中，由正弦定理得ACsinβ＝DCsinα－β，以4人小组为单位，讨论你们的设计方案.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引∴AC＝asinβsinα－β.在Rt△ACB中，AB＝AC·sinα＝asinβsinα－βsinα.方法二：在BC的延长线上找一点D，使得在D点测得仰角∠ADB＝α2.又测得DC的长为m.在△ADC中，∠ADC＝α2，∠DAC＝α－α2＝α2.∴DC＝AC＝m，在Rt△ACB中，AB＝ACsinα＝msinα.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引方法三：如图，在河的这岸抽取一点D，测得CD＝b，并测∠BCD＝γ，∠BDC＝β.在△BCD中，∠CBD＝π－γ－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，∴BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝b·sinβsinβ＋γ.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝b·sinβtanαsinβ＋γ.探究点二：测量高度问题NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引【变式训练】A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.探究点二