高三数学知识点汇编

-1-高三数学知识点汇编一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg}xyx—函数的定义域；{|lg}yyx—函数的值域；{(,)|lg}xyyx—函数图象上的点集.2.集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集,记为AA.②空集是任何集合的子集,记为A.③空集是任何非空集合的真子集；注意:当AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况如：}012|{2xaxxA,如果AR,求a的取值.(答：0a)④含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为21n；非空真子集个数为22n.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c,使0)(cf,求实数p的取值范围.(答：32(3,))4.原命题:pq；逆命题:qp；否命题:pq；逆否命题:qp；互为逆否的两个命题是等价的.如：“sinsin”是“”的条件.(答：充分非必要条件)5.若pq且qp,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).6.注意命题pq的否定与它的否命题的区别:命题pq的否定是pq；否命题是pq.命题“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.如：“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则ba是奇数”否定是“若a和b都是偶数,则ba是奇数”.7.常见结论的否定形式二.函数1.①映射f:AB是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集B).②一一映射f:AB：⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.2.函数f:AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数0且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；5.求值域常用方法:①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有1n个小于不小于至多有n个至少有1n个对所有x,成立存在某x,不成立p或qp且q对任何x,不成立存在某x,成立p且qp或q-2-⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()fx是偶函数,那么()()(||)fxfxfx；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f)；⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0fxfx或()()1(()0)fxfxfx；注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0fx定义域关于原点对称即可).⑸奇函数在对称的单调区间内有相同单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.（提醒：求单调区间时注意定义域）8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x而言）；上下平移---“上加下减”(注意是针对()fx而言).⑵翻折变换：()|()|fxfx；()(||)fxfx.⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C与2C的对称性,即证1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C上,反之亦然.③函数()yfx与()yfx的图像关于直线0x(y轴)对称；函数()yfx与函数()yfx的图像关于直线0y(x轴)对称；④若函数()yfx对xR时，()()faxfax或()(2)fxfax恒成立,则()yfx图像关于直线xa对称；9.函数的周期性：⑴若()yfx是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则()fx的周期为2||a；⑵若()yfx奇函数,其图像又关于直线xa对称,则()fx的周期为4||a；10.对数：⑴loglognnaabb(0,1,0,)aabnR；⑵对数恒等式log(0,1,0)aNaNaaN；⑶log()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMNMNMNMNMnM；1loglognaaMnM；⑷对数换底公式logloglogbbaNaN(0,1,0,1)aabb；(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0nMNaabbccaaa)11.()afx恒成立[()]afx最大值,()afx恒成立[()]afx最小值.12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：2()(0)fxaxbxca；②顶点式：-3-2()()(0)fxaxhka；③零点式：12()()()(0)fxaxxxxa.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.函数(0,0)bxyaxab：增区间为(,],[,)bbaa,减区间为,,[,0),(0]bbaa.如：函数12()axxfx在区间(2,)上为增函数,实数a的取值范围是_____(答：12(,)).三.数列1.由nS求na,1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN注意验证1a是否包含在后面na的公式中,若不符合要单独列出.如：数列{}na满足111534,nnnaSSa，求na(答：14(1)34(2)nnnan).2.等差数列(1)定义：成等差数列}{)2(1nnnandaa(2)通项公式：BAndnaan)1(1推广：dmnaamn)((3)前n项和公式：BnAndnnnanaaSnn2112)1(2等差数列1{}nnnaaad(d为常数)112(2,*)nnnaaannN21122(,)(,)nnddaanbadbadSAnBnABa；3.等差数列的性质：①()nmaanmd,mnaamnd；②mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；当2mnp时,有2mnpaaa；③等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即232,,,mmmmmSSSSS仍是等差数列；④首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式100nnaa(或100nnaa).也可用2nSAnBn的二次函数关系来分析.4.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1nnnnaqanqaa(2)通项公式：11nnqaa(3)前n项和)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn等比数列121111{}(0)(2,*)nnnnnnnnaaaqqaaannNaaq.5.等比数列的性质①若{}na、{}nb是等比数列，则{}nka、{}nnab等也是等比数列；②111111(1)1111(1)(1)(1)(1)nnnnqqaaaaaqqqqnaqnaqSqqq-4-③mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；④等比数列中232,,,mmmmmSSSSS(注：各项均不为0)仍是等比数列.7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知nS(即12()naaafn)求na用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.⑶已知12()naaafn求na用作商法：()(1)(1),(1),(2)nfnfnfnan.⑷若1()nnaafn求na用迭加法.⑸已知1()nnaafn,求na用迭乘法.8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：12123(1)nnn；常见裂项公式111(1)1nnnn；9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为：(1)2(1)(12)(1)()nnnSprprpnrpnr(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：12(1)(1)(1)(1)nnnprxrxrxrx(等比数列问题).四.三角函数1.终边与终边相同2()kkZ；终边与终边共线()kkZ；终边与终边关于x轴对称()kkZ；终边与终边关于y轴对称2()kkZ；终边与终边关于原点对称2()kkZ；终边与终边关于角终边对称22()kkZ.2.弧长公式：||lr；扇形面积公式：21122||Slrr扇形；1弧度(1rad)≈57.3.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.4.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视．．．．为锐角．．．)．5.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：()；2()()；2()()；22；222()()等；“1”的变换：221sincostancot2sin30tan45xxxx6.辅助角公式：22sincossin()abaxbxx其中tanba）；7.降幂公式22cos1sin2；2cos1cos22；8.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sinsinsin2abcABCR；-5-余弦定理：22222222()222cos,cos1bcabcabcbcabcbcAA；面积公式：124sina