平面任意力系---简化与平衡

第四章平面任意力系力系中各力的作用线在同一平面内，既不完全交于一点也不完全相互平行分布平面任意力系：本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题平面任意力系实例FBAdFFFBdAFMBABMFdMF第一节平面任意力系向一点的简化作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力一、力的平移定理偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩反之：同一平面内的一个力和一个力偶可以合成为一个力FF2FnF1F3FOO二、平面任意力系向一点的简化ORFOM1F2FnF1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF11FF22FFnnFF3'F3M33OMMF33FFO1F2FnF11FF22FFnnFF3'F33FFO1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF3M33OMMFORFOOM'RiiFFFOiOiMMMF2FnF1F3FOO平面任意力系向其作用面内任一点O简化，结果一般为一个力和一个力偶。矢；称为原力系的主矩。RiFF主矢：主矩：OOiMMF2）主矩与简化中心的选择有关说明：1）主矢与简化中心的选择无关ORFOM1F2FnF1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF该力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心O的矩的代数和，11FF22FFnnFF3'F3M33OMMF33FFyxO1O2F2F1F4F3[例]如图中所示一个平面任意力系，其中F1=F，F2=2√2F，F3=2F，F4=3F，图中每格距离为a，求：1）力系分别向O1和O2的简化结果。三、平面任意力系简化结果的讨论R0F1）但MO≠0：原力系合成为一个合力偶2FnF1F3FOOMRF三、平面任意力系简化结果的讨论ORFR0F2）但MO=0：的合力原力系合成为一个作用线通过简化中心OOM2FnF1F3F3）R0F且MO≠0：O的合力原力系合成为一个作用线不通过简化中心ORF''RFRFRFMdOd三、平面任意力系简化结果的讨论2FnF1F3FOOMRF三、平面任意力系简化结果的讨论R0F4）且MO=0…yxO1O2F2F1F4F3[补充例1]如图中所示一个平面任意力系，其中F1=F，F2=2√2F，F3=2F，F4=3F，图中每格距离为a，求：1）力系分别向O1和O2的简化结果；2）力系简化的最终结果。yxO1O2FR[补充例2]在正方形木板上作用三个大小均为F的力，此三力首尾连接构成一边长为a的等边三角形，求此力系合力。1F2F3FABCMlqAB2.分布载荷的合成结果四、若干重要结论1.平面固定端的约束力平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶qqlF/2llqAB2/3l/2qqlFAAxFAyFAMAAMAF均布载荷线性分布载荷三、平面任意力系简化结果的讨论'RiiFFFOiOiMMMFR0FR0F4）且0OM0OM''RxixixFFF''RyiyiyFFF0ixF0iyF0OiMF第二节平面任意力系的平衡方程一、平面任意力系的平衡方程1.基本形式0ixF0iyF0OiMF1）可解3个未知量说明：·两投影一矩式2）投影轴与矩心位置均可任意选择0ixF0BiMF2.一投影两矩式0AiMF其中，A、B两点连线不垂直于x轴0CiMF3.三矩式0BiMF其中，A、B、C三点不共线0AiMF二、平面平行力系的平衡方程nFxyiF2F1FO1.基本形式0iyF0OiMF2.两矩式0BiMF0AiMF其中，A、B两点连线不平行于y轴1）可解2个未知量说明：2）矩心位置可任意选择·一投影一矩式BAqMFAyFAxFAM[例2]如图，悬臂梁AB上作用有矩为M的力偶和集度为q的均布载荷，在梁的自由端还受一集中力F的作用，梁长为l，试求固定端A处的约束力。解：2）受力分析BqlAMFa1）选取梁AB为研究对象3）选取坐标轴，列平衡方程0,ixF0,iyF()0,AiMF4）求解未知量0AxFAyFqlF22AqlMFlMBqlAMFaBAqMFAyFAxFAMqlxyO0AxF0AyFqlF02AlMqlFlM解得固定端A处的约束力BCA[例3]外伸梁AB如图所示，沿全长有均布载荷q=8kN/m作用，两支座中间有一集中力F=8kN作用。已知a=1m，若不计梁自重，试求铰支座C、B的约束力。解：1）选取外伸梁AB为研究对象2）受力分析CFqFBF3）选取坐标轴，列平衡方程y()0,CiMF0,iyF2302BaFaFaqa30CBFFqaF4）求解未知量解得铰支座C、B的约束力分别为10kNBF22kNCF3qaaqFaaCBAAB解：[例2-4]如图，重P=5kN的电动机放在水平梁AB的中央，梁的A端受固定铰支座的约束，B端以撑杆BC支持。若不计梁与撑杆自重，试求铰支座A处的约束力以及撑杆BC所受的力。Pl/2lBAC30PAFBCFD2）受力分析1）选取AB梁（包括电动机）为研究对象ABPAFBCFD300,iyF0,ixF4）求解未知量5kNBCF解得FBC为正值，表示其假设方向与实际方向相同，即杆BC受压；而FA为负值，则表明其假设方向与实际方向相反。3）选取坐标轴，列平衡方程yxcos30cos300ABCFFsin30sin300ABCFFP5kNAFAB解：[例2-4]如图，重P=5kN的电动机放在水平梁AB的中央，梁的A端受固定铰支座的约束，B端以撑杆BC支持。若不计梁与撑杆自重，试求铰支座A处的约束力以及撑杆BC所受的力。Pl/2lBAC30PBCF2）受力分析1）选取AB梁（包括电动机）为研究对象AxFAyF0,iyF0,ixF4）求解未知量5kNBCF解得3）选取坐标轴，列平衡方程yxcos300AxBCFFsin300AyBCFFP53kN2AxFABPBCFAxFAyF0,AMsin3002BCABFABP5kN2AyFDADB[例4]一重P=1.8kN的物块悬挂在图示构架上。已知=45°，若不计构架自重，试求支座A处的约束力以及杆BC所受的力。解：2）受力分析PAxFAyFBFTFrBADCP1m2m3m1）选取滑轮、杆AB与物块组成的系统为研究对象ADBPAxFAyFBFTF1m2m3m()0,AiMFTsin456310BFPF()0,BiMFT6310AyFPF0,ixFTcos450AxBFFF4）求解未知量2.4kNAxF1.2kNAyF0.85kNBF杆BC所受的力与FB是作用力与反作用力的关系，即杆BC所受的力为0.85kN，是拉力3）选取坐标轴，列平衡方程xy解得AB302m3m2m3m45BMA123F30[例5]横梁AB用三根杆支撑，受图示载荷。已知F=10kN，M=50kN·m，若不计构件自重，试求三杆所受的力。FM451F2F3F解：2）受力分析1）选取横梁AB为研究对象xy3）选取坐标轴，列平衡方程()0,CiMF37sin302cos3050FFFM0,ixF2cos45sin300FF0,iyF123sin45cos300FFFF4）求解未知量解得三杆所受的力分别为1()5.33kNF压2()7.07kNF拉3()8.33kNF压说明：F30M45ABCD1F2F3F还可利用平衡方程∑MD(Fi)=0校核上述计算结果[例6]图示塔式起重机，已知机架自重为G，作用线距右轨B为e；满载时荷重为P，距右轨B为l；平衡块重为W，距左轨A为a；轨道A、B的间距为b。要保证起重机在空载和满载时都不翻倒，试问平衡块重W应为多少？解：1）确定空载时平衡块的重量当空载时，P=0。为使起重机不绕点A翻倒，必须满足FB≥0()0,AiMF0BFbGebWa解得1BFGebWab列平衡方程BFeGCalPWABb选取起重机整体为研究对象受力分析AF≤WGeba0,iBMF0AFbWabGePl解得1AFWabGePlb将其代入条件FB≥0，即得空载时平衡块的重量应满足2）确定满载时平衡块的重量当满载时，为使起重机不绕点B翻倒，必须满足FA≥0列平衡方程BFeGCalPWABbAF将其代入条件FA≥0，即得满载时平衡块的重量应满足1WGePlab≥GebWa≤BFeGCalPWABbAF所以，要保证起重机在空载和满载时都不翻倒，平衡块重应满足不等式1WGePlab≥1GebGePlWaba≤≤