平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习

平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念1.向量：既有大小有方向的量叫做向量.只有大小没有方向的量称为数量.2.几何表示:向量可以用有向线段表示.长度：向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称模),记做|AB|.向量也可用字母ab,c,（印刷用黑体a，手写用a）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，AB，CD.零向量：长度为0的向量.记做0.单位向量:长度为1的向量.平行向量:方向相同或相反的向量.记作a//b.规定:零向量与任一向量平行.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记做a=b.注意:向量相等与有向线段的起点无关.共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算)1.向量加法的三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a和b的和，记做a+b，即ABBCa+b求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种方法称为向量加法的三角形法则.2.向量加法的平行四边形法则以同一个点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线OC是a与b的和,即OAOBOCa+b.此法叫做向量加法的平行四边形法则.规定：对零向量与任一向量a，00a+=+a=a3.小结论对任意向量a、b，有|a+b||a|+|b|；当a、b同向时，|a+b|=|a|+|b|；当a、b反向是，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）4.向量加法交换律：a+b=b+a；向量加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)5.与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量.6.向量减法的几何意义：a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.7.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)||||||aa；(2)当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相同.8.数乘的运算律：(1)()()aa;(2)()aaa;(3)()abab.9.向量共线充要条件:向量()aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.三、平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一个实数1、2，使得1122aee把不共线的向量1e、2e叫做这一平面内所有向量的基底.2.向量的夹角已知两个非零向量和ab，作OAa，OBb，则(0180)AOB叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是90，称a与b垂直，记作ab.当0时，与ab同向；当180时，与ab反向.3.正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.4.向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得xyaij这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对(,)xy叫做向量a的坐标，记作(,)xya.其中x，y分别叫做a在x轴上，在y轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示.5.平面向量的坐标运算(1)若11(,)xya，22(,)xyb，则1212(,)xxyyab；(2)若(,),xyRa,则(,)xya；(3)若11(,)Axy,22(,)Bxy，则2121(,)ABxxyy.6.平面向量共线的坐标表示设11(,)xya,22(,)xyb()0b,则向量()0、abb共线的充要条件为12210xyxy.7.设111(,)Pxy,222(,)Pxy.(1)若P是12PP的中点，则121222(,)xxyyP；(2)若12PPPP，则121211(,)xxyyP.前三部分总结1.向量相等(长度和方向).2.加法的三角形法则(首尾相连)、四边形法则(起点相同)及其几何意义.注意与平面几何相结合小结论：(1)G为ABC的重心(中线的交点)123123GA+GB+GC0G33xxxyyy，；(2)G为ABC的外心GBGCGA3.共线(平行)向量.(1)11221221(,)(,)()//0xyxyxyxya,bb0aba=b；(2),,ABC三点共线//ABAC.4.平面向量基本定理112212(,)不共线aeeee四、平面向量的数量积：1、向量的夹角概念：对于两个非零向量,ab，如果以O为起点，作,OAaOBb，那么射线,OAOB的夹角叫做向量a与向量b的夹角，其中0．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义:如果两个非零向量,ab的夹角为，那么我们把||||cosab叫做向量a与向量b的数量积，记做ab即：cosabab．（2）投影：b在a上的投影是一个数量cosb，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若向量11(,)axy，22(,)bxy，则1212xxyayb3、向量的夹角公式：221212221122cosxxyyababxyxy4、向量的模长：22211aaaaxy5、平面向量的平行与垂直问题：（1）若11(,)axy，22(,)bxy，//ab，则12210xyxy（2）若11(,)axy，22(,)bxy，ab，则121200xxyaby例：一、平面向量的数量积的应用：1、向量数量积定义的应用〖例1〗（1）已知1,2,ab向量,ab的夹角为3，求(2)(2)abab（2）已知(2,1),(3,4),ab求：①()(3)abab；②若1,9acbc，求c的坐标2、向量的夹角问题〖例2〗（1）已知向量a、b都是非零向量，且向量ab3与向量57ab垂直，向量ab4与向量27ab垂直，求向量a与b的夹角。（2）若向量a=xx2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围基础练习：一、选择题1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．e1=(0,0),e2=(1,－2);B．e1=(-1,2),e2=(5,7);C．e1=(3,5),e2=(6,10);D．e1=(2,-3),e2=)43,21(2．已知向量a、b，且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是（）A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe1＋μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ,μ有无数多对；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；④若实数λ,μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.A．①②B．②③C．③④D．仅②5．若向量a=(1,1),b=（1,-1),c=(-2,4),则c=()A．-a+3bB．3a-bC．a-3bD．-3a+b*6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OC=αOA+βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0二、填空题7．作用于原点的两力F1=(1,1),F2=(2,3),为使得它们平衡，需加力F3=;8．若A(2,3)，B(x,4),C(3,y),且AB=2AC,则x=，y=;9．已知A(2,3),B(1,4)且12AB=(sinα,cosβ),α,β∈(-2,2),则α+β=*10．已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为11、若0ba，则a与b的夹角的取值范围是。12、180,36||,10||baba，a与b的夹角是。13、已知),5,3(),2,(bma若a与b的夹角为钝角，实数m的取值范围为。14、已知ababa)(,2||,1||，则a与b的夹角是三、解答题15.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b16．如果向量AB=i-2j,BC=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。17．已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11,,33AEACBFBC求证：//EFAB*18．已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若()APABACR，试求λ为何值时，点P在第三象限内？19、已知),1,(),1,2(mmba若a与b的夹角为锐角，求实数m的取值范围。20、已知a、b都是非零向量，且3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角。21、ΔABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,8)，判断ΔABC的形状。22、在△ABC中，),2(),1,1(kACAB，若△ABC为直角三角形，求实数k的值。23、已知),13,13(),3,1(ba求a与b的夹角是多少？24、已知),31,3(),35,3(ba求ba2与ba的夹角是多少？25、若a与b的夹角为θ，且a=(3,3)，)1,1(2ab，求θ。