新编备战高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题二-平面向量的模的问题-Word版含解析

I．题源探究·黄金母题【例1】已知||3a，||2b，a与b的夹角为30，求||ab、||ab．II．考场精彩·真题回放【例2】【四川高考卷】在平面内，定点ABCD，，，满足DA＝DB＝DC,DADB＝DBDC＝2DCDA，动点PM，满足1AP，PM=MC，则2BM的最大值是（）A．434B．494C．37634D．372334【答案】B【解析】甴已知易得120ADCADBBDC，2DADBDC．以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则2,0,1,3,1,3ABC．设,,Pxy由已知1AP，得2221xy．又PMMC，∴13,22xyM，∴133,22xyBM，∴2221334xyBM，它表示圆2221xy上点.xy与点(1,33)距离平方的14，∴2222max149333144BM，故选B．【例3】【湖南高考卷】已知点A，B，C在圆221xy上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则PAPBPC的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】由题意，得AC为圆的直径，故可设(,),(,),(,)AmnCmnBxy，则(2,)PAmn，(2,)PBxy，(2,)PCmn，所以(6,)PAPBPCxy，于是||PAPBPC＝22(6)xy，其最大值为圆221xy上的动点到定点(6,0)距离的最大值，从而根据图形特征知当10xy时，PAPBPC的最大值为7，故选B．【例4】（浙江高考文科）已知1e，2e是平面单位向量，且1212ee．若平面向量b满足121bebe，则b___________．【答案】233【例5】﹙江西高考文科﹚已知单位向量，12,ee的夹角为，且1cos3，项向量1232aee，则||a_______．【答案】3【解析】由题意，得2212||(32)aee＝2211229124eeee＝912cos4＝1131293，所以||3a．【例5】【20xx湖南高考卷】）已知,ab是单位向量，0ab．若向量c满足||1cab，则||c的取值范围是（）A．[21,21]B．[21,22]C．[1,21]D．[1,22]【答案】A【解析】因为,ab是单位向量，0ab，所以22|22ababab|||||+．设向量ab与c的夹角为，于是由||1cab，两边平方，得222||||||2()21cababcab，即2||1122||cos1cc，即2||1cos022||cc，于是由2||1122||cc，得2||22||11cc，解得21||21c，故选A．精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第119页复习参考题A组第13题．【母题评析】本题中,ab是利用两个已知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两个新向量的模，求解时通常直接利用模的公式2||||aaaa可直接解决．高考命题常常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向量的模．【思路方法】求由两个已知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的模，通常利用模的公式2||||aaaa结合乘法法则展开，然后利用两个已知向量模与夹角进行求解．【命题意图】本类题主要考查平面向量的模的求法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小．也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中．【难点中心】（1）利用模公式2||||aaaa转化后，如何求新的向量式的值，是一个难点；（2）在平面几何图中进行向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个向量的模及夹角是已知的．III．理论基础·解题原理考点一向量模的定义向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作||AB．长度为0的向量叫做零向量，长度等于1的向量叫做单位向量．考点二向量模的计算公式（1）非坐标形式：2||||aaaa；（2）坐标形式：若(,)axy，则22||axy．考点三向量模的性质（1）||||||abab，当且仅当,ab同向共线时，等号成立；（2）||||||abab，当且仅当,ab异向共线时，等号成立．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．【技能方法】（1）求已知向量的模，通常直接利用公式进行计算即可；（2）根据向量的模的大小求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量模的公式建立方程（组）来解决，主要步骤分为三步：①简化向量的表达式；②利用向量的模的公式建立方程（组）；③解方程（组）求得参数；【易错指导】（1）不能正确将非坐标形式的向量利用公式2||||aaaa进行转化；（2）错误利用向量模的性质，特别是性质不等式中，在什么情况等号成立易出现错误．V．举一反三·触类旁通考向1求向量的模【例1】【20xx黑龙江哈尔滨六中高三下期中】设xR，向量(,1)ax，(1,2)b，且ab，则ab＝（）A．5B．10C．25D．10【答案】B【解析】∵abrr，∴20abxrr，2x，则(3,1)ab，所以10ab，故选B．【例2】【20xx山东寿光现代中学高三下开学检测】平面向量ab与rr的夹角为2,0,13ab，rr，则2abrr（）A．23B．0C．6D．2【答案】D【归纳总结】求两个向量的模主要有两种题型：（1）求给出坐标的向量(,)axy的模，利用公式22||axy求解；（2）求非坐标形式的向量的模，利用公式2||||aaaa求解．【跟踪训练】已知平面向量a与b的夹角为3，且1,223bab，则a___________．【答案】2【解析】由1b，将223ab的两边同时平方可得，224cos4123aabb，即2144122aa，解得2a．考向2根据平面向量的模求解参数问题【例2】【20xx宁夏六盘山高中高三下第二次月考】已知向量(,1),(2,1)ab，若abab，则实数的值为（）A．1B．2C．1D．2【答案】C【名师点睛】根据向量的模的大小，或几何向量的模间关系等求相关参数的值或取值范围，解答此类问题通常要建立方程（组）来解决．【跟踪训练】已知平面向量(0,1)a，(2,1)b，||2ab，则的值为（）A．12B．21C．2D．1【答案】D【解析】因为(2,1)ab，所以222||2(1)4ab，又0，解得1，故选D．考向3求向量的模的最值或取值范围【例3】【20xx浙江嘉兴一中高三期中】已知平面向量,满足3且与150的夹角为，则1mm的取值范围是___________．【答案】3,2【解析】22211121mmmmm223312132mm．令1mt，则2223333121333242mmtt，所以1mm取值范围是3,2．【方法归纳】求平面向量的模的最值或取值范围通常有如下途径：（1）根据条件建立函数，通常求函数的最值来解决，而建立函数时有时可通过建立坐标系来处理；（2）如果条件中的向量具有几何意义，可转化为平面几何问题，利用图形的直观性来解决；（3）建立多个变量的表达式，结合基本不等式可解析几何知识求解．【跟踪训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点BA,分别为x轴，y轴上一点，且1AB，若点)3,1(P，则APBPOP的取值范围是（）A．]6,5[B．]7,6[C．]9,6[D．]7,5[【答案】D考向4平面向量的模与不等式交汇【例4】【20xx陕西西藏民族学院附中高三4月月考】已知向量,ab满足1a，a与b的夹角为3，若对一切实数x，2xabab恒成立，则b的取值范围是（）A．1[,)2B．1(,)2C．[1,)D．(1,)【答案】C【解析】由若对一切实数x，2xabab恒成立，得222xabab，即222224+42xabxababab，整理得222224+42xabxababab，把1a，a与b的夹角为3代入，整理得222310xxbbb恒成立，故22=44310bbb，解得1b．【方法点睛】因为向量的模实际是一个实数，因此它常常与不等式相结合，常常会出现在不等式的种类题型．解答时通常是首先利用不等式的知识确定出向量的模应满足的条件，然后求解相关的问题．【跟踪训练】已知非零向量,1||,eea且对任意的实数,Rt都有||||eaeta，则有（）A．aeB．eea)(C．()eaeD．)()(eaea【答案】C【解析】因为非零向量,1||,eea且对任意的实数,tR都有||||eaeta，所以22||||ateae，22210taetae，224210aeae，即210ae，210aeaeeeae，故选C．考向5平面向量的模与三角函数的交汇【例5】【20xx江苏南京市高三三调】在平面直角坐标系xOy中，已知点cos(n)siA，，sin0B，，其中R．（1）当23时，求向量AB的坐标；（2）当[0,]2时，求||AB的最大值．【答案】（1）136(,)22AB；（2）3．【规律总结】平面向量的模与三角函数的交汇通常体现为以三角函数为向量的坐标，同时给出向量的模大小、范围或几个向量模间关系，求解三角函数问题或向量问题等．解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量的模的公式化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量的模的公式求解．【跟踪训练】设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx（1）若ab，求x的值；（2）设函数()fxab，求xf的最大值．【答案】（1）6x；（2）32．考向6平面向量的模与解析几何的交汇【例6】【20xx河南郑州市高三二模】已知CBA,,为ABC的三个内角，向量m满足26m，且)2cos,2sin2(CBCBm，若A最大时，动点P使得PB、BC、PC成等差数列，则BCPA的最大值是（）A．332B．322C．42D．423【答案】A.【解析】222262sincos2coscos22222BCBCABCm，∴2cos2BC＝232cos[0,1]22A，∴213cos424A．又∵(0,)22A，∴13cos222A，∴623A，∴233A，故A的最大值为23，取到最大值时6BC，又∵||PB，||BC，||PC成等差数列，∴2||||||BCPBPC，故P点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2ABAC，∴22||4323aBCa，3c，223bab，∴椭圆的标准方程是221129xy，∴22224||(1)12213PAxyyyy＝212133yy