Chp1s5

1.5标量场的梯度一.方向导数设一个标量函数u(x,y,z),若函数u在点P可微,则u在点P沿任意方向l的方向导数为:复合函数求导：方向dl的单位矢量:dldzzudldyyudldxxudldu...cos.cos.cos.zuyuxudldudzdydxdzyxaaaldldzdldydldxdldzyxlaaalacoscoscoszyxaaa二．标量场的梯度),,(),,(...coscoscoszuyuxucoszucosyucosxudldu定义矢量:zuyuxuugradzyxaaa即方向导数为：lugraddldua为标量场u(r)的梯度（gradient)方向导数:zzyyxxBABABABA引入矢量微分算子,也叫汉密顿算符zyxzyxaaazuyuxuuugradzyxaaa即方向导数为：lluugradluaa在圆柱坐标系中:zuuuuzaaa在球坐标系中:sinrururuuraaa对一般的正交坐标系的梯度表示为：333222111gradehuehuehuuuaaa计算场f(r)=xy2z在A=ax+2ay+2az方向的方向导数及在点(2，1，0)处，在B=2ax–ay+2az方向的方向导数。解：zfyfxffzyxaaa=axy2z+ay2xyz+azxy2323231zyxAAaaaAa22323431ddxyxyzzyfAfAa323132zyxBBaaaBa34323232dd)0,1,2(22)0,1,2()0,1,2(xyxyzzyfBfBa例2.标量场的梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向,即与等值线（面）垂直，且指向标量场数值增大的方向。u0u0+duu三．梯度的性质1.一个标量场的梯度构成一个矢量场。u矢量3.在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在该点的方向导数可能取得的最大值。证：cosdduulula其中为u与dl之间的夹角ludd最大即ulumaxdd当=0时，u0u0+duu4.一个单值标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点有关，而与曲线的形状无关。即一个单值标量场的梯度是一个保守的矢量场。证：ladddduuulul)()(dd1221PuPuuuPPcl得若P1、P2重合，则0dculP1P2由5、梯度运算的恒等式cc)(0c)()()(1)(2)()(FF四.梯度的物理意义在空间任何一点，标量场梯度的方向是该点标量场场量增加最快的方向；它的模是由该点向各个不同方向移动时场量可能有的最大增加率。标量场的梯度是标量场的场量空间变化度。u0u0+duu高度场的梯度•与过该点的等高线垂直；•数值等于该点位移的最大变化率；•指向地势升高的方向。电位场的梯度•与过该点的等位线垂直；•指向电位增加的方向。•数值等于该点的最大方向导数；距离矢量R=r（x，y，z）-r′(x,y,z′)设有标量场，求证：以(x′,y′,z′)为动点的梯度f（R）与以（x，y，z）为动点时的梯度f（R）之间有如下关系：f（R）=-f（R）证：zfyfxffzyxaaazfyfxffzyxaaaOrr′R(x,y,z)(x，y，z)例1.9zyxzzyyxxa)(a)(a)(rrR222zzyyxxR)()()(RzyxzyxaaarzyxzyxaaarRxxzzyyxxxxxR')()()()'(22222RxxRfxRRfxfxfRxxRfxRRfxf)(Orr′R(x,y,z)(x，y，z)同理zfzfyfyf)(aaa)(RfzfyfxfRfzyx1.16习题