1.4.2-正弦函数、余弦函数的性质-课件(人教A版必修4)

新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数1．4.2正弦函数、余弦函数的性质栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数正弦函数的图象复习引入余弦函数的图象x22322523yO23225311x22322523yO23225311栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数新知初探思维启动正、余弦函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosx图象定义域_________RR值域[－1，1]________奇偶性奇函数偶函数[－1，1]栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数周期性：（1）图象特征：图象从Ｘ轴看等距离重复出现；（2）数值特征：当自变量x每增加的整数倍时，函数值重复出现。（3）定义：若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数f(x)为周期函数；非零常数T叫做这个函数的周期．2（4）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则称这个最小的正数为函数的最小正周期。栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数练习：求下列三角函数的周期：解：（1）∵3cos(2)3cosxx∴由周期函数的定义知道，原函数的周期为2（2）∵sin2()x∴由周期函数的定义知道，原函数的周期为1y3cosx,xR(2)y=sin2x,xRx(3)y2sin(),xR26()=sin(22)xsin2x（3）∵1262sin[(4)]x1262sin[()2]x1262sin()x∴由周期函数的定义知道，原函数的周期为4栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数函数y＝sinxy＝cosx单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增；在[π2＋2kπ，32π＋2kπ](k∈Z)上递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数函数y＝sinxy＝cosx最值X=_____________时,ymax＝1；x＝_____________时，ymin＝－1x＝__________时,ymax＝1；x＝_____________时，ymin＝－1π2＋2kπ(k∈Z)－π2＋2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)(2k＋1)π(k∈Z)栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数函数y＝sinxy＝cosx对称性对称中心：______________对称中心：________________对称轴l：_______________对称轴l：_______________π2＋kπ，0(k∈Z)(kπ，0)(k∈Z)x＝π2＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数做一做答案：C已知函数y＝sinx，x∈R，则下列说法不正确的是()A．定义域为RB．最大值与最小值的和等于0C．在－π2，π2上是减函数D．最小正周期为2π栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数想一想根据三角函数值可知sinπ6＋23π＝sinπ6，由此能否可说23π也是y＝sinx的一个周期？提示：23π不是y＝sinx的周期，等式：sinπ6＋23π＝sinπ6只是对于π6成立，并不是对任意x都成立．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数典题例证技法归纳题型探究例1正、余弦函数的周期性求下列各函数的周期：(1)y＝sin12x；(2)y＝2sinx3－π6；(3)y＝|sinx|.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数【解】(1)∵sin12x＋2π＝sin12x，即sin12（x＋4π）＝sin12x.∴y＝sin12x的周期是4π.(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即2sin13（x＋6π）－π6栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数＝2sinx3－π6，∴y＝2sinx3－π6的周期是6π.(3)y＝|sinx|的图象如图所示．∴周期T＝π.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数【名师点评】求三角函数的周期，通常有三种方法．(1)定义法；(2)公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝2π|ω|；如本例(1)可用公式求解如下：T＝2π12＝4π.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数(3)观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征,选择适当方法求解，为了避免出现错误,求周期时要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数变式训练1.求下列函数的周期．(1)y＝sin4x；(2)y＝cosx3＋π2.解：(1)∵sin(2π＋4x)＝sin4x，即sin4π2＋x＝sin4x，∴y＝sin4x的周期为π2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数(2)∵y＝cosx3＋π2＝－sinx3，∴－sin2π＋x3＝－sinx3，即－sin13(6π＋x)＝－sinx3，∴y＝cosx3＋π2的周期为6π.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数正、余弦函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性：(1)y＝sinx＋tanx；(2)f(x)＝sin3x4＋3π2；(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx；(4)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数【解】(1)定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，关于原点对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴函数y＝sinx＋tanx是奇函数．(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)＝－cos3x4，x∈R.又f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，∴函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数(3)函数应满足1＋sinx≠0，∴函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋3π2，k∈Z}．显然定义域不关于原点对称，故函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx为非奇非偶函数．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数(4)由1－cosx≥0cosx－1≥0，得cosx＝1，故f(x)＝0，∴函数f(x)＝1－cosx＋cosx－1既是奇函数也是偶函数．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数互动探究2.若本例(4)改为f(x)＝1－cosx，其奇偶性如何？解：∵x∈R，∴f(－x)＝1－cos（－x）＝1－cosx＝f(x)，∴f(x)为偶函数．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数正、余弦函数的单调性例3求函数y＝2sin(π4－x)的单调区间．【解】y＝2sin(π4－x)＝－2sin(x－π4)．因为y＝sinx，x∈R的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)；单调减区间为[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，得3π4＋2kπ≤x≤7π4＋2kπ，k∈Z.所以函数y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4＋2kπ，3π4＋2kπ](k∈Z)；栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数单调减区间为[3π4＋2kπ，7π4＋2kπ](k∈Z)．所以原函数y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[3π4＋2kπ，7π4＋2kπ](k∈Z)；单调减区间为[－π4＋2kπ，3π4＋2kπ](k∈Z)．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数变式训练3.求函数y＝2sin(x＋π4)的单调区间．解：y＝sinx的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]，k∈Z.由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数得－34π＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤x＋π4≤32π＋2kπ，k∈Z，得π4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.∴y＝2sin(x＋π4)的单调增区间为[－34π＋2kπ，π4＋2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π4＋2kπ，54π＋2kπ]，k∈Z.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数正、余弦函数的定义域、值域、最值例4(本题满分10分)(1)求函数y＝2sin(x＋π3)，x∈[π6，π2]的值域；(2)求函数y＝11＋sinx的定义域、值域和最值．【解】(1)∵x∈[π6，π2]，∴x＋π3∈[π2，5π6]，∴sin(x＋π3)∈[12，1]．∴所求值域为[1，2].4分栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数(2)令1＋sinx＝0得sinx＝－1.∴x＝－π2＋2kπ，k∈Z.∵1＋sinx≠0，∴x≠－π2＋2kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠－π2＋2kπ，k∈Z}.7分∵－1sinx≤1，∴01＋sinx≤2，名师微博注意不能写成x＝－π2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数∴11＋sinx≥12.∴y＝11＋sinx的值域为[12，＋∞).8分当sinx＝1，即x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y有最小值12，无最大值.10分栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数变式训练4.求函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域.解：y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4，0]．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数备选例题1.(2011·高考山东卷)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A．3B．2C.32D.23栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数解析：选C.∵y＝sinωx(ω0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由y＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第一章三角函数2.若f(x)＝asinx＋π4＋3sinx－π4是偶函数，则a＝_