第一章-行列式试题及答案

第一章行列式试题及答案一选择题(每小题3分，共30分)⑴n元排列i1i2…in经过相邻对换，变为in…i2i1，则相邻对换的次数为()(A)n(B)n/2(C)2n(D)n(n-1)/2⑵在函数xxxxxxf2142112中，x3的系数是()(A)-2(B)2(C)-4(D)4⑶若Dn=det(aij)=1，则det(－aij)=()(A)1(B)-1(C)(-1)n(D)(-1)n(n-1)/2⑷设nn2121，则n不可取下面的值是()(A)7(B)2k+1(k2)(C)2k(k2)(D)17⑸下列行列式等于零的是()(A)100123123(B)031010300(C)100003010(D)261422613⑹行列式D非零的充分条件是()(A)D的所有元素非零(B)D至少有n个元素非零(C)D的任何两行元素不成比例(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解⑺111222cbcacbcbabacaba()(A)100010001222cbcacbcbabacaba(B)1111122222cbcacbcbabacabcbcacbcbabacaba(C)101011122222cbcbcbacabcbcacbcbabacaba(D)111222bcacbcabacabcbcacbcbabacaba⑻设a,b,c两两不同，则0222cbacbabaaccb的充要条件是()(A)abc=0(B)a+b+c=0(C)a=1,b=-1,c=0(D)a2=b2,c=0⑼四阶行列式44332211ababbaba()(A)(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)(B)(a1a4-b1b4)(a2a3-b2b3)(C)(a1b2-a2b1)(a3b4-a4b3)(D)(a1b4-a4b1)(a2b3-a3b2)⑽齐次线性方程组0302022321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足的条件是()(A)=0(B)=2(C)=1(D)1二填空(每小题3分，共15分)⑴在五阶行列式中，3524415312aaaaa的符号是_________。⑵五阶行列式6200357020381002300031000___________。⑶设7343690211118751D，则5A14+A24+A44=_______。⑷若a,b是实数，则当a=___且b=___时，有10100abba0。⑸设x1,x2,x3是方程x3+px+q=0的根，则行列式132213321xxxxxxxxx__。三计算行列式(每小题6分，共30分)⑴0112210321011322211313211⑵2222222222222222321321321321ddddccccbbbbaaaa⑶yyxx1111111111111111⑷acbacbacbacba⑸xbbbaxbbaaxbaaaxDn(ab)四证明题(每小题10分，共20分)⑴用归纳法证明:任意一个由自然数1,2,…,n构成的n元排列，一定可以经过不超过n次对换变成标准排列12…n⑵设平面上三条不同的直线为000baycxacybxcbyax，证明:三条直线交于一点的充分必要条件是0cba五解答题(5分)和取何值时，0200321321321xxxxxxxxx有非零解？参考答案一、选择题⑴(D)⑵(A)⑶(C)⑷(A)⑸(D)⑹(D)⑺(C)⑻(B)⑼(B)；⑽(D)二、填空题⑴“-”调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列5341352412aaaaa，此时列标排列的逆序数为t(24513)=5，故该项带负号。⑵42423212331)1(620035702038100230003100032⑶-150用5,1,0,1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有5A14+A24+A44=1501343090211115751⑷a=0,b=00)(1010022baabbaabbaa=0,b=0⑸0由题意知0321xxxxxxk，其中x3的系数为k，x2的系数为)(321xxxk，与原方程比较，得k=1，x1+x2+x3=0。将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得0111)(132213321132213321xxxxxxxxxxxxxxxxxx三、计算题⑴0112210321011320275103110201122103210113222113132114241rrrr00501132275131101122113227513110)1(53454rr列展开按第5130271310521122713105423rr行展开按第1705133151列展开按第⑵2222222222222222321321321321ddddccccbbbbaaaa5232125232125232125232122222122334ddddccccbbbbaaaacccccc0221222122212221222222334ddccbbaacccc⑶yyxx1111111111111111yyyxxxrrrr1111001111004321yxxy11111100111100113,1行提取公因子第22141100110011110011yxyxxyrr⑷对n阶行列式acbacbacba按第一行展开，得递推公式11nnnbcDaDD于是有abcaabcbcaabcDaDD2)(321232224232343)()2(cbbcaabcabcabcaabcDaDD223534534cabbcaabcDaDD⑸xbbbaxbbaaxbaaaxDn)(000axabbbaxbbaaxbaaax)(000axbbbxbbaxbaaxabbbaxbbaaxbaaax1)(1111nDaxbbbxbbaxbaaxa1)(1111)1,,2,1(nniDaxbxbabxbababxanibcc得递推公式11)()(nnnDaxbxaD①Dn的转置行列式相当于将a,b互换，于是有11)()(nnnDbxaxbD②因为ab，①(x-b)-②(x-a)，得baaxbbxaDnnn四、证明题⑴设n元排列为i1i2…in。当n=2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。假设结论对n-1元排列成立，下面证明对n元排列也成立①若元素in=n。根据归纳法假设，i1i2…in-1可经过不超过n-1次对换变成12…(n-1)，亦即i1i2…in-1in可经过不超过n-1次对换(n次)变成12…n②若元素inn。不妨设ik=n，只需对换元素ik和in，即得第①种情形，故i1i2…in可经过不超过n次对换变成12…n⑵必要性设三条直线交于一点(x0,y0)，则x=x0，y=y0，z＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解，000bzaycxazcybxczbyax故系数行列式0bacacbcbaD即))((222cabcabcbacbaD])()()[()(21222accbbacba0由于三条直线不同，因此，a,b,c不能全部相等，故0cba。充分性已知0cba，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。baycxacybxcbyax①将前两个方程相加，有)()()(acycbxba由于0cba，得baycx，即第三个方程。因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组①变为acybxcbyax②其系数行列式22)(caacbaccbbaD])([21)(22222cacaacca显然D0[否则，a=c=0，并由此得b=-(a+c)=0，这与0cbyax是直线方程矛盾]因此，方程组②亦即方程组①有唯一解，三条直线交于一点。五、解答题齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即0)1(111001111121111123rrD故1或0时，方程组有非零解。