高二数学基本不等式复习-人教版

书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话习题课不等式定理及其重要变形：),(222Rbaabba2baab2)2(ba),(Rba（定理）重要不等式（推论）基本不等式（又叫均值不等式）ab代数意义：ab如果把看做是两正数a、b的等差中项,看做是两正数a、b的等比中项,那么均值不等式可叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2ba几何意义：均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦.结构特点：均值不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等变换.abab二、公式的拓展abbaab22222baba),(Rba当且仅当a=b时“=”成立),(222Rbaabbaabba4)(2222)()(2baba（1）abcaccbba8))()((三、公式的应用（一）—证明不等式（2）1cba已知8)11)(11)(11(cba求证（以下各式中的字母都表示正数）1:3cba。已知31cabcab求证：1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222证明：cabcabcba222cabcabcba2221222cabcab33331cabcab注意:本题条件a,b,c为实数△法解不等式求证:a+ac+c+3b(a+b+c)≥0证明:原式=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)≥0设f(a)=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)∵△=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(c+b)∴f(a)≥0(当且仅当-b=c=a取等号)四、公式的应用（二）—求函数的最值（2）已知是正数，（定值），求的最小值；yx,yxSxy已知是正数，（定值），求的最大值；yx,Pyxxy（1）一正二定三相等和定积最大积定和最小已知，求函数的最大值；310x)31(xxy（3）已知是正数，满足，求的最小值；yx,（4）yx1112yx创造条件注意取等号的条件（3）已知：0＜x＜31，求函数y=x（1-3x）的最大值利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件即x=61时ymax=121∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜31则1-3x＞0；∵0＜x＜31，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=313x（1-3x）≤2)2313(31xx121当且仅当3x=1-3x可用均值不等式法配凑成和成定值（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即的最小值为yx1124过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：解：（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值正解：223当且仅当yxxy2即:xy2时取“=”号122yxxy而222221yx即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23“1”代换法特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。1121.abRabab1.已知，，且，求的最小值12211,222)11()2(221221,,babababbaaRba，解法一：.2411,1222)11)(2(11,12的最小值为、及解法二：由baababbababaRbaba（5）错题辨析.6911211,31,12,1211babababaabba又成立时，当且仅当解法三：正确解法一“1”代换法.1112的最小值，求，且，已知babaRba（5）已知正数a、b满足a+2b=1，求ba11的最小值正解：223当且仅当baab2即:ba2时取“=”号122baba而222221ab即此时223minzba11bbaaba22baab232,4,0,0baba求2211bbaa的最小值．解：由,4ba，得.2162)(222ababbaba又,222abba得abab2216，即4ab．21111222bbaabbaa.225244444422ab故2211bbaa的最小值是225．错解：8441212112222bbaabbaa，故2211bbaa的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1a和1b，但在4ba的条件下，这两个式子不会同时取等号（31ba时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．“1”的代换3、已知x、y∈R+,且191xy，求xy的最小值五：公式应用（三）—解决实际问题例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？APBHba例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？:,,,,,PxPHAPHBPH解设学生距黑板米黑板上下边缘与学生的水平视线的夹角分别为其中则学生看黑板的视角为,,tan,tan由此可得由xbxa2tantanan1tantatn1ababxxababxxx,tan,,22最大时当且仅当因为abxabxabxxabx,为锐角由于,最大此时.ab即学生距墙壁时看黑板的视角最大问题与思考4。某种商品准备两次提价,有三种方案:A.第一次提价m％,第二次提价n％;B.第一次提价n％,第二次提价m％;C.两次均提价％.试问哪种方案提价后的价格高?2nm设原价为M元,令a=m％,b=n％,则按三种方案提价后的价格分别为:A.(1+a)·(1+b)·M=(1+a+b+ab)·MC.(1+)2·M=[1+a+b+]·M2ba2)2(ba只需比较ab与的大小.2)2(ba042)2(222babaabba易知B.(1+b)·(1+a)·M=(1+a+b+ab)·M5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池才能使造价最低，最低造价是多少元？34800m问题与思考解：设水池底面一边的长度为m，水池的总造价为元，根据题意，得xlx34800则另一边的长度为解：设水池底面一边的长度为m，水池的总造价为元，根据题意，得xlx34800则另一边的长度为因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.当且仅当,xx160029760040有最小值时，即l因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.当且仅当,xx160029760040有最小值时，即l实际问题抽象概括引入变量数学模型数学模型的解实际问题的解还原说明推理演算建立目标函数均值不等式2、解应用题思路反思研究1、设且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。Rba,2、设则的最大值为_____。,12,0,022baba21ba３、设满足，且则的最大值是（）yx,404yx0,0yxyxlglgA、40B、10C、4D、224423Ｄ（１）各项或各因式为正（２）和或积为定值（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正二定三相等”２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能；创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；１、应用均值不等式须注意以下三点：3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。乘积倒数其他平方1,,baRba设你能给出几个含有字母a和b的不等式410ab411ba21122ba9)11)(11(ba425)1)(1(bbaa