高中文科数学高考必备基础知识

1重难点简摘§3数列一、数列的定义和基本问题1．通项公式：)(nfan（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；2．前n项和：12nnSaaa=；3．通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：11,1,2nnnSnaSSn二、等差数列：1．定义和等价定义：1(2){}nnnaadna是等差数列；2．通项公式：BAndnaan)1(1；推广：dmnaamn)(；3．前n项和公式：BnAndnnnanaaSnn2112)1(2；4．重要性质举例：①a与b的等差中项2abA；②若mnpq，则mnpqaaaa；特别地：若2mnp，则2mnpaaa；③奇数项135,,aaa，…成等差数列，公差为2d；偶数项246,,aaa，…成等差数列，公差为2d.④若有奇数项21n项，则21(21)nSna中；中偶奇aSS，中奇a21nS，中偶a21nS，11SSnn偶奇，n偶奇偶奇偶奇SSSSSSSn（其中n1a=a中）；若有偶数项2n项,则d2nS奇偶S，其中d为公差；⑤设nA=S，2nnB=S-S，3n2nC=S-S，则有CAB2；⑥当10,0ad时，nS有最大值；当10,0ad时，nS有最小值.⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和公式.（8）若等差数列na的前12n项的和为12nS，等差数列nb的前12n项的和为'12nS，则'1212nnnnSSba三、等比数列：1．定义：1(2,0,0){}nnnnaqnaqaa成等比数列；2．通项公式：11nnqaa；推广nmnmaaq；3．前n项和111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq；（注意对公比的讨论）24．重要性质举例①a与b的等比中项G2GabGab（,ab同号）；②若mnpq，则mnpqaaaa；特别地：若2mnp，则2mnpaaa；③设nA=S，2nnB=S-S，3n2nC=S-S，则有2BAC；④用指数函数理解等比数列（当10,0,1aqq时）的通项公式.四、等差数列与等比数列的关系举例1．na成等差数列nab成等比数列；2．na成等比数列0lognabna成等差数列.五、数列求和方法：1．等差数列与等比数列；2．几种特殊的求和方法（1）裂项相消法；)11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan（2）错位相减法：nnncba,其中nb是等差数列，nc是等比数列记nnnnncbcbcbcbS112211；则1211nnnnnqSbcbcbc，…（3）通项分解法：nnncba六、递推数列与数列思想1．递推数列（1）能根据递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由(,)0nnfSa，求,nnaS.解题思路：利用)2(,1nSSannn2．数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若1(),(2)nnaafnn，则……；（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若1()(2)nnagnna，则……；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.3§5平面向量一、向量的基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.二、加法与减法运算1．代数运算(1)nnnAAAAAAAA113221．(2)若a=（11,yx）,b=（22,yx）则ab=（2121,yyxx）．2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量AC=a+b,BD=b－a,DB=a－b.且有︱a︱－︱b︱≤︱ab︱≤︱a︱+︱b︱．3．运算律向量加法有如下规律：a＋b=b＋a(交换律)；a+(b+c)=(a+b)+c（结合律）；a+0=aa＋(－a)=0.三、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量。1．︱a︱=︱︱·︱a︱；(1)当＞0时，a与a的方向相同；当＜0时，a与a的方向相反；当=0时，a=0．(2)若a=（11,yx），则·a=（11,yx）．2．两个向量共线的充要条件：(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得b=a．(2)若a=（11,yx）,b=（22,yx）则a∥b01221yxyx．四、平面向量基本定理1．若1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a=11e+22e．2．有用的结论：若1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数1，2，使得11e+22e=0，则1=2=0.五、向量的数量积；1．向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=（001800）叫做向量a与b的夹角（两个向量必须有相同的起点．．．．．）。2．两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos．其中︱b︱cos称为向量b在a方向上的投影．3．向量的数量积的性质：若a=（11,yx）,b=（22,yx）（1）e·a=a·e=︱a︱cos(e为单位向量)；（2）a⊥ba·b=002121yyxx（a，b为非零向量）；（3）︱a︱=2211aaxy；4（4）cos=abab=222221212121yxyxyyxx．（可用于判定角是锐角还是钝角．．．．．．．．．．．．．）4．向量的数量积的运算律：a·b=b·a；(a)·b=(a·b)=a·(b)；(a＋b)·c=a·c+b·c．六、点P分有向线段21PP所成的比1．定义：设P1、P2是直线l上两个点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使PP1=2PP，叫做点P分有向线段21PP所成的比。2．位置讨论：（1）当点P在线段21PP上时，＞0；特别地：点P是线段P1P2的中点是1.（2）当点P在线段21PP或12PP的延长线上时，＜0；3．分点坐标公式：若PP1=2PP；21,,PPP的坐标分别为（11,yx）,（yx,）,（22,yx）；则112121xxxyyy，（≠－1），中点坐标公式：222121xxxyyy．4.三点共线定理：若OAxOByOC则A,B,C共线的充要条件是x+y=15，点的平移公式''''xxhxxhyykyyk''OPOPPP(图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形'F上的对应点为'''(,)Pxy，且'PP的坐标为(,)hk).§7直线与圆一、直线的基本量1．两点间距离公式：若)y,x(B),y,x(A2211，则212212)()(yyxxAB特别地：x//AB轴，则AB；y//AB轴，则AB.2．直线l：ykxb与圆锥曲线C：(,)0fxy相交的弦AB长公式消去y得02cbxax（务必注意0），设A),(),,(2211yxByx则：2222212112(1)()(1)[()4]ABkxxkxxxx3．直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角[0,)；当2时，直线的斜率tank.（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图4．直线在x轴和y轴上的截距：（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义.二、直线的方程：直线方程的五种形式:（1）点斜式11()yykxx(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)Pxy、222(,)Pxy(12xx)).5（4）截距式1(,xyabxyab分别为轴轴上的截距,且a0,b0)（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).三、两条直线的位置关系：（1）若111:lykxb，222:lykxb①121212//,llkkbb；②12121llkk.(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,①1212211221//00llABABACAC且；②1212120llAABB；五、点到直线的距离1．点00(,)Pxy到直线0CByAx的距离：2200BACByAxd2．平行线间距离：若10AxByC、20AxByC，则2221BACCd.注意点：x，y对应项系数应相等.且12CC六、圆：1．确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：222)()(rbyax，其中圆心为(,)ab，半径为r.（2）一般方程：022FEyDxyx（)0422FED其中圆心为(,)22DE，半径为2422FEDr.（3）圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)ab，半径为r.2．直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系：设圆心C到直线l的距离为d,则相切d=r，相交dr，相离dr；3．两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则外离dR＋r，外切d＝R＋r，相交R－rdR＋r，内切d＝R－r，内含dR－r；4，圆中有关重要结论:(1)若P(0x,0y)是圆222xyr上的点,则过点P(0x,0y)的切线方程为200xxyyr(2)若P(0x,0y)是圆222xyr外一点,由P(0x,0y)向圆引两条切线,切点分别为A,B则直线AB的方程为200xxyyr221111(3)C:xyDxEyF0经过圆和圆222222C:xyDxEyF0的两交点的直线方程为：121212DDxEEyFF0§8圆锥曲线一、椭圆，1．定义（1）第一定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且21212FFaPFPF（a为常数）则P点的轨迹是椭圆。（2）第二定义：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0e1），则P点的轨迹是椭圆。6（3）焦半径：21()aPFexexac；22()aPFexexac2．标准方程：（1）焦点在x轴上：12222byax)0(ba；焦点在y轴上：22221yxab)0(ba。（焦点的位置标准方程形式）3．几何性质（以焦点在x轴上为例）：（1）范围：axa、byb（2）对称性：长轴长=a2，短轴长=2b，焦距=2c（3）离心率cea，准线方程cax2（4）有用的结论：212PFaPF，caPFca1，11FAcaFA22，21FAcaFA12，顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与cba,,有关.（5）21FPF中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立1PF+2PF、1PF·2PF等关系二、双曲线1．定义：（1）第一定义：若F1，F2是两定点，21212FFaPFPF（a为常数），则动点P的轨迹是双曲线。（2）第二定义：若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e1），则动点P的轨迹是双曲线。（3）焦半径（点P在右支）：)(21caxePF，22()aPFexc2．标准方程（1）焦点在x轴上：12222byax)0