2019-2020学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷

试卷第1页，总15页2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的：第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1.已知集合𝐴＝{−1, 2, 3}，𝐵＝{𝑥∈𝑍|−1𝑥≤2}，则𝐴∩𝐵＝（）A.{0}B.{2}C.{0, 1, 3, 4}D.⌀【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合𝐵，然后进行交集的运算即可．【解答】𝐴＝{−1, 2, 3}，𝐵＝{0, 1, 2}，∴𝐴∩𝐵＝{2}．2.已知实数0𝑎1，则下列正确的是（）A.1𝑎𝑎𝑎2B.𝑎𝑎21𝑎C.𝑎21𝑎𝑎D.1𝑎𝑎2𝑎【答案】A【考点】不等式的基本性质【解析】根据实数0𝑎1，取𝑎=12，即可判断1𝑎，𝑎和𝑎2的大小关系．【解答】由实数0𝑎1，取𝑎=12，则1𝑎=2，𝑎2=14，所以1𝑎𝑎𝑎2．3.已知函数𝑦＝𝑓(𝑥)的定义域为[−6, 1]，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥+1)𝑥+2的定义域是（）A.(−∞．−2)∪(−2, 3]B.[−11, 3]C.[−72, −2]D.[−72, −2)∪(−2, 0]试卷第2页，总15页【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由𝑓(𝑥)的定义域求得𝑓(2𝑥+1)的定义域，结合𝑔(𝑥)的分母不为0取交集得答案．【解答】由𝑦＝𝑓(𝑥)的定义域为[−6, 1]，得−6≤2𝑥+1≤1，解得−72≤𝑥≤0，即𝑓(2𝑥+1)的定义域为[−72, 0]；由{−72≤𝑥≤0𝑥≠−2，得−72≤𝑥−2或−2𝑥≤0．∴函数𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥+1)𝑥+2的定义域是[−72, −2)∪(−2, 0]．4.已知𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥12𝑓(𝑥−1)+1,𝑥≥12，则𝑓(14)+𝑓(76)＝（）A.−16B.116C.56D.−56【答案】B【考点】函数的求值求函数的值【解析】推导出𝑓(14)＝2×14=12，𝑓(76)＝𝑓(16)+1＝2×16+1=43，由此能求出𝑓(14)+𝑓(76)的值．【解答】∵𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥12𝑓(𝑥−1)+1,𝑥≥12，∴𝑓(14)＝2×14=12，𝑓(76)＝𝑓(16)+1＝2×16+1=43，∴𝑓(14)+𝑓(76)=12+43=116．5.“|𝑥−1|3”是“𝑥4“的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件试卷第3页，总15页【解析】根据𝑝:𝑥∈𝐴；𝑞:𝑥∈𝐵；则𝐴⫋𝐵⇔𝑝是𝑞的充分不必要条件；𝐵⫋𝐴⇔𝑝是𝑞的必要不充分条件；𝐴⊆𝐵⇔𝑝是𝑞的充分条件；𝐴＝𝐵⇔𝑝是𝑞的充要条件．解出命题对应的集合，进行判断即可．【解答】由“|𝑥−1|3”解得−2𝑥4，根据(−2, 4)⫋(−∞, 4)，即“|𝑥−1|3”是“𝑥4“的充分不必要条件．6.已知函数𝑓(𝑥)=1𝑚𝑥2+𝑚𝑥+4的定义域是一切实数，则𝑚的取值范围是（）A.0𝑚16B.0𝑚4C.0≤𝑚16D.𝑚≥16【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】把𝑓(𝑥)的定义域为𝑅转化为对任意𝑥∈𝑅，𝑔(𝑥)＝𝑚𝑥2+𝑚𝑥+4≠0．然后对𝑚分类求解得答案．【解答】∵函数𝑓(𝑥)=1𝑚𝑥2+𝑚𝑥+4的定义域是一切实数，∴对任意𝑥∈𝑅，𝑔(𝑥)＝𝑚𝑥2+𝑚𝑥+4≠0．当𝑚＝0时，𝑔(𝑥)＝4，符合题意；当𝑚≠0时，需△＝𝑚2−16𝑚0，解得0𝑚16．综上，𝑚的取值范围是[0, 16)．7.函数𝑓(𝑥)=1−𝑥2𝑥3的图象可能是（）A.B.C.D.试卷第4页，总15页【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】判定函数为奇函数排除𝐵，𝐶；分别求出𝑓(12)与𝑓(1)的值排除𝐷．【解答】又𝑓(12)=1−1418=60，𝑓(1)＝0，∴排除𝐷．故选：𝐴．8.函数𝑓(𝑥)＝𝑥−√𝑥+1的最小值为（）A.−54B.−12C.−1D.0【答案】A【考点】函数的最值及其几何意义【解析】利用换元法，结合二次函数的性质，求解函数的最小值即可．【解答】令𝑡=√𝑥+1，则𝑡≥0，所以函数化为：𝑦＝𝑡2−𝑡−1，𝑡≥0，函数是二次函数的一部分，二次函数的对称轴为：𝑡=12，开口向下，所以函数的最小值为：(12)2−12−1=−54．9.关于𝑥的不等式𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎0的解集中恰有两个正整数，则实数𝑎的取值范国是（）A.[2, 4)B.[3, 4]C.(3, 4]D.(3, 4)【答案】C【考点】一元二次不等式的应用【解析】根据题意，求出不等式的解集，根据解集中恰有两个正整数，即可得到𝑎的范围．【解答】①当𝑎1时，𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎0的解集为(𝑎, 1)，不满足解集中恰有两个正整数；②当𝑎＝1时，不等式解集为⌀；③当𝑎1时，𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎0的解集为(1, 𝑎)，试卷第5页，总15页又因为解集中恰有两个正整数，即解集中包含2，3，∴3𝑎≤4，10.已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥+1,𝑥≤0−𝑥2+2𝑥,𝑥0，则方程𝑓2(𝑥)−𝑏𝑓(𝑥)＝0，𝑏∈(0, 1)根的个数是(（)A.2B.3C.4D.5【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】把问题转化为求𝑓(𝑥)＝0或者𝑓(𝑥)＝𝑏的根的个数，根据图象得出结论．【解答】𝑓2(𝑥)−𝑏𝑓(𝑥)＝0，得𝑓(𝑥)＝0或者𝑓(𝑥)＝𝑏，如上图，𝑥≤0，𝑓(𝑥)＝0，无解，𝑥0时，𝑓(𝑥)＝0有一解，𝑥0时，𝑓(𝑥)＝𝑏，𝑏∈(0, 1)，有两个解，故共有3个解，11.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A.𝑓(𝑥)＝|𝑥|，𝑔(𝑥)=√𝑥2B.𝑓(𝑥)=√𝑥2，𝑔(𝑥)=(√𝑥)2C.𝑓(𝑥)=𝑥2−1𝑥−1，𝑔(𝑥)＝𝑥+1D.𝑓(𝑥)=√𝑥+1⋅√𝑥−1，𝑔(𝑥)=√𝑥2−1【答案】A【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可．【解答】𝐴．函数𝑔(𝑥)=√𝑥2=|𝑥|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．𝐵．函数𝑓(𝑥)=√𝑥2=|𝑥|，𝑔(𝑥)＝𝑥，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．𝐶．函数𝑓(𝑥)＝𝑥+1的定义域为{𝑥|𝑥≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．试卷第6页，总15页𝐷．由{𝑥+1≥0𝑥−1≥0，解得𝑥≥1，即函数𝑓(𝑥)的定义域为{𝑥|𝑥≥1}，由𝑥2−1≥0，解得𝑥≥1或𝑥≤−1，即𝑔(𝑥)的定义域为{𝑥|𝑥≥1或𝑥≤−1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．12.若关于𝑥的一元二次方程(𝑥−2)(𝑥−3)＝𝑚有实数根𝑥1，𝑥2，且𝑥1𝑥2，则下列结论中正确的有（）A.当𝑚＝0时，𝑥1＝2，𝑥2＝3B.𝑚−14C.当𝑚0时，2𝑥1𝑥23D.二次函数𝑦＝(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)+𝑚的图象与𝑥轴交点的坐标为(2, 0)和(3, 0)【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】取𝑚＝0求解一元二次方程判断𝐴；求出函数𝑦＝(𝑥−2)(𝑥−3)的值域判断𝐵；由函数零点与方程根的关系判断𝐶；把次函数𝑦＝(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)+𝑚转化为𝑦＝(𝑥−2)(𝑥−3)判断𝐷．【解答】当𝑚＝0时，方程(𝑥−2)(𝑥−3)＝𝑚化为(𝑥−2)(𝑥−3)＝0，解得𝑥1＝2，𝑥2＝3，故𝐴正确；∵函数𝑦＝(𝑥−2)(𝑥−3)=𝑥2−5𝑥+6=(𝑥−52)2−14≥−14，∴要使方程(𝑥−2)(𝑥−3)＝𝑚有实数根𝑥1，𝑥2，且𝑥1𝑥2，则𝑚−14，故𝐵正确；方程(𝑥−2)(𝑥−3)＝0的两根为2，3，则方程(𝑥−2)(𝑥−3)＝𝑚(𝑚0)的两根𝑥12，𝑥23，则𝑥123𝑥2，故𝐶错误；∵二次函数𝑦＝(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)+𝑚＝(𝑥−2)(𝑥−3)−𝑚+𝑚＝(𝑥−2)(𝑥−3)，∴二次函数𝑦＝(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)+𝑚的图象与𝑥轴交点的坐标为(2, 0)和(3, 0)，故𝐷正确．13.已知函数𝑦＝𝑓(𝑥)是定义在[0, 2]上的增函数，且图象是连续不断的曲线，若𝑓(0)＝𝑀，𝑓(2)＝𝑁(𝑀0, 𝑁0)，那么下列四个命题中是真命题的有（）A.必存在𝑥∈[0, 2]，使得𝑓(𝑥)=𝑀+𝑁2B.必存在𝑥∈[0, 2]，使得𝑓(𝑥)=√𝑀𝑁C.必存在𝑥∈[0, 2]，使得𝑓(𝑥)=√𝑀+𝑁2D.必存在𝑥∈[0, 2]，使得𝑓(𝑥)=21𝑀+1𝑁【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】试卷第7页，总15页分别构造函数𝑦＝𝑓(𝑥)−𝑀+𝑁2；𝑦＝𝑓(𝑥)−√𝑀𝑁；𝑦＝𝑓(𝑥)−√𝑀+𝑁2；𝑦＝𝑓(𝑥)−21𝑀+1𝑁，运用函数零点存在定理逐一判定得答案．【解答】函数𝑦＝𝑓(𝑥)的图象是一条连续不断的曲线，𝑓(0)＝𝑀，𝑓(2)＝𝑁，对于𝐴，由𝑦＝𝑓(𝑥)−𝑀+𝑁2，得[𝑓(0)−𝑀+𝑁2]•[𝑓(2)−𝑀+𝑁2]=−(𝑀−𝑁)220，可得函数𝑦存在零点，故𝐴是真命题；对于𝐵，由𝑦＝𝑓(𝑥)−√𝑀𝑁，[𝑓(0)−√𝑀𝑁]•[𝑓(2)−√𝑀𝑁]＝(𝑀−√𝑀𝑁)(𝑁−√𝑀𝑁)，∵𝑀0，𝑁0，且𝑀≠𝑁，则上式为−√𝑀𝑁(√𝑀−√𝑁)20，可得函数𝑦存在零点，故𝐵为真命题；对于𝐶，由𝑦＝𝑓(𝑥)−√𝑀+𝑁2，[𝑓(0)−√𝑀+𝑁2]•[𝑓(2)−√𝑀+𝑁2]＝[𝑀−√𝑀+𝑁2][𝑁−√𝑀+𝑁2]，若𝑀，𝑁∈(12, 1)，则[𝑀−√𝑀+𝑁2][𝑁−√𝑀+𝑁2]0，可得函数𝑦不存在零点，故𝐶是假命题；对于𝐷，由𝑦＝𝑓(𝑥)−21𝑀+1𝑁，[𝑓(0)−21𝑀+1𝑁]•[𝑓(2)−21𝑀+1𝑁]＝(𝑀−21𝑀+1𝑁)⋅(𝑁−21𝑀+1𝑁)=−𝑀𝑁𝑀+𝑁⋅(𝑀−𝑁)20，可得函数𝑦一定存在零点，故𝐷为真命题．二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在答题纸的横线上设集合𝑃＝{𝑥|𝑦=√−𝑥2+4𝑥−3}，𝑄＝{𝑥|𝑥24}，则𝑃∩𝑄＝________．【答案】[1, 2)【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合𝑃，𝑄，然后进行交集的运算即可．【解答】𝑃＝{𝑥|−𝑥2+4𝑥−3≥0}＝{𝑥|1≤𝑥≤3}，𝑄＝{𝑥|−2𝑥2}，∴𝑃∩𝑄＝[1, 2)．若正数𝑥，𝑦满足𝑥+3𝑦=5𝑥𝑦，则3𝑥+4𝑦的最小值是________．【答案】5【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】将方程变形15𝑦+35𝑥=1，代入可得3𝑥+4𝑦=(3𝑥+4𝑦)(15𝑦+35𝑥)=135+3𝑥5𝑦+4𝑦5𝑥×3，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵𝑥+3𝑦=5𝑥𝑦，