数形结合在中学数学解题中的应用

数形结合在中学数学解题中的应用学生姓名:郝云霞指导老师:屈俊摘要:数形结合是一种重要的数学思想方法,其应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系,其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,关键问题是代数问题与图形之间的互相转化.本文从五个方面研究了在遇到这些题型的时侯应该考虑用数形结合,使学生有用数形结合的意识.关键字:数形结合中学解题应用引言:在中学数学的学习中,解题是学习课程的一个重要的“实践性”环节,但学生解题时,往往比较局限,面对代数问题只会应用代数的知识去解决,没有将它转化为图形语言的意识,或者不能发现隐藏在代数问题中的某种几何特征.在面对几何问题时不能够借助所给的图形,找到图形中所蕴含的数量关系,反映几何图形的内在属性.如果学生在解题时能够应用数形结合换个角度看问题,就会在山重水复疑无路时,发现柳暗花明又一村.下面我将以具体的例子来讨论什么样的数学问题常用数形结合的思想来解决.正文:一.由对应建立起来的关系1.实数与数轴上的点的对应关系【1】数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例,它的建立不仅使最简单的形与实数间建立了一一对应关系,而且揭示了数形间的内在联系,使实数的很多性质可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明,将负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较等知识将数和形有机地融合在一起,学生可以结合图形进行直观分析,以数和形为纽带,解决问题[2].例1.已知0,0,aabab比较,,0,ab,ab的大小,用号连接.解:由0,0aab可得0,0ab又因为ab所以由绝对值和相反数的几何意义可知,,0,,abab在数轴上的位置如下图所示:-aab0-b由图可知0abba分析:此题是初一学生在学习了有理数一章后所遇到的题,由于初一的学生对数轴还不是很熟悉,学生大部分用的是赋值法,给a,b赋予特殊值,这样可以得到答案,但是通过这样的方法做选择题可以,做大题的严谨性就不强了,还有的同学赋值赋的自己也搞不清楚数代表的是哪个字母了,因为刚上初一的学生,对字母代表数这块的认识还不是很清楚,由于根深蒂固的思想认为b一定代表负数,导致出错.利用这种方法就可以避免以上这种错误了.2.平面上的点和有序实数对的对应关系平面直角坐标系可以看作是升级版的数轴,在直角坐标系中平面上的点和有序实数对是一一对应的.使数与形完美的结合在一起,达到了和谐的统一.在学习函数和方程等内容时,都是经过坐标系来实现的数与形的结合,从而对形的认识更为清晰深刻,对数的理解更为形象具体[3].例2.已知22,|234Qxyxy221,|14Pxyxym且PQQ求m的取值范围.解:P表示以12,3O为圆心2为半径圆的内部的点的集合Q表示以21,Om为圆心12为半径圆面的点的集合PQQ转化为几何语言为圆2O内含于圆1O12OORr即22112322m解得553322m所以m的取值范围为55|3322mm3.函数与图像的对应关系函数通过直角坐标系实现了数（函数）和形（函数的图像）的结合函数的图像是函数关系的一种表示,它从形的方面来刻画函数的变化规律.函数的图像形象的显示了函数的性质,为研究函数提供了形的直观性,它是探求解题的途径,函数的解析式和函数的图像是函数关系式的主要表现形式,是指是相同的.解题时经常要相互转化【4】.例3.设222fxxax当1,x时fxa恒成立,求a的取值范围.解:fxa在1,上恒成立2220xaxa在1,恒成立.设222gxxaxa则当1,x时,gx的图像位于x轴上方.如下图有两种情况:xy1234–1–2–3–4123–1–2–3aOxy–1–2–3–41234123–1–2–3aOyx123–1–2–3123–1–2–3o2o1O第一种情况需要满足:22420aa解的2,1a第二种情况需要满足:0101ga解的3,2a综上a的取值范围为3,1a分析:我们知道二次函数求最值有很多种方法,但是我认为图像法师最好的方法,因为借助图形不管是否限定了定义域都可以一目了然,特别对限定了定义域的二次函数,用图像简洁明了.做此题的最关键的是能将fxa恒成立问题转化成0gx恒成立的问题.4曲线和方程的对应关系曲线和方程是解析几何中两个重要的概念,它们有如下的关系:(1)曲线上的点都是方程的解(2)方程的解都在这条曲线上.因此在处理复杂方程的根时,可以看作是等号两边的两个函数图像的交点的问题,这样在求解方程的根时,可以避开复杂的计算,直接从图像上看出根的个数和大致范围[5].例4.已知01a则方程logxaax的实数根个数为()A1个B2个C3个D1个或2个或3个分析:如果这个题从代数方面下手想,那么这道题将无法下手,如果换个角度,从几何的角度看问题,把方程的根看作是xfxa与logagxx两个图像的交点,那么就可以很快的做出这个题.两个函数的图像如右图所示,由图可知:方程的根有两个,应选B.二:以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念1.复数复数的几何意义包括两方面的内容:（1）复数和复平面上的点一一对应（2）复数与复平面上从原点出发的向量一一对应.这就使得复数的问题可以从几何的角度来审视,可以通过数与形的互化来解题.例5.已知zaibzC且12z求1z的取值范围.解:12z在复平面上对应的图形为以原点为圆心,以12为半径的圆面,1z表示复平面上z对应的点与1对应的点间的距离,如下图所示:由图可知1z的最大值为32ACxygx()=logaxfx()=ax1234–1–2–3–4–1–2–3–41234OyxCBAD-121-112O最小值为12AB所以1z的取值范围为13,22分析:这是我家教的时候遇到的题,当时的学生是用代数的方法解决,他设zaib则221122zab而2211zab于是本体就转化为已知2212ab求221ab的取值范围,到这里就卡住了,在我给他讲了这个方法后,他对我说老师我觉得我的那种方法也有解了,22221124abab从几何的角度看是以原点为圆心半径为12的圆面上的点的集合.那么221ab可以看成是点1,0到圆面上的点的距离由图同样可知最小值为12AB最大值为32AC综上1z的取值范围为13,22这两种方法都是用几何的方法解决了一个代数问题,而且归根结底是同一种方法,但是只要学生能体会这种思想有用这种方法的意识,那就是成功的.2.三角函数高中三角函数是在单位圆中定义的,不仅定义了值如何算,而且还将对应的有向线段联系起来,在处理有关函数的单调区间的确定,或者比较函数值的大小等问题,一般借助单位圆或者三角函数的图像来处理[6].例6.在0,2内,使sincosxx的x的取值范围是()A3,44B53,,4242C,42D57,44解:sincos00,2xxx由三角函数线的定义可知sinxMPcosxOMsincosxxMPOM结合图形可知3,44x选A例7.已知函数11sincossincos22fxxxxx则fx的值域是()ab–111–1CBAOyxPMOA1,1B2,12C21,2D21,2解:由11sincossincos22fxxxxx可得cossincossinsincosxxxfxxxx由此可得fx的图像是sinxcosx图像下部分的图像.则由图像可得fx的值域为21,2应选C3.向量向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示,可以使向量运算完全代数化,将数与形紧密的结合起来,这样可以使几何问题转化为代数问题.是数形结合以数助形的体现.解决方法就是建立直角坐标系,设出相关点的坐标,求出相关向量的坐标,利用向量的运算求出结果得出结论.例8.如下图所示P是正方形ABCD对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形求证:1PAEF2PAEF证明:以D为坐标原点,DC所在的直线所在的直线为x轴建立直角坐标系,设正方形的边长为1DP02则0,1A1,0C22,22P2,02E21,2F1易得22,122AP221,22CDAPCP又四边形PECF是矩形CPEFAPEF2易得221,22EF222222211211022222222APEFAPEF即PAEFyxFEPDCBA例9.如图在四棱锥PABCD中PA平面ABCD底面ABCD是菱形2AB60BAD1求证:BD平面PAC2若PAAB求PB与AC所成角的余弦值.3当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长1证明:ABCDBPPACBDPAACA是菱形面面面BDACPAABCDBDPAABCD2设ACBDO以O为坐标原点OB所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,过点O平行与PA的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz60BAD1OBOD3AOCO则0,3,2P1,0,0B0,3,0A0,3,0C则1,3,2PB0,23,0AC设PB与AC所成角为则cosPBACPBAC易得6PBAC22PB23AC所以6cos43由2可知1,3,0BC设0,3,0Ptt则1,3,BPt设平面PBC的一个法向量为,,mxyz则030030BCmxyBPmxytz令3y则3x6zt所以63,3,mt同上可得平面PDC的一个法向量63,3,nt由于PBCPDC平面平面所以0mn即23660t得6t所以6PA分析:例6和例7都从代数的角度解决了几何的问题,代数方法解决的时候,不用考虑所求的在几何图形的位置关系如何,做这种题的关键是把几何问题等价的转化为代数问题,经常用的转化有（1）要证ABCDABCDOzyxDCBAP(2)要证ABCD存在一实数0使=CDAB成立（3）要证ABCDCD=0AB（4）要证A,B,C三点共线存在一实数0使=BCAB成立(5)要求直线AB和CD夹角可转化为cosABCDABCD(6)要求二面角的平面角可以转化为两个面法向量的夹角[7]三.所给的等式或者代数式的结构有明显的几何意义1.绝对值模型x的几何意义是x数轴上对应的点到原点的距离,xa的几何意义是xa在数轴上对应的两点之间的距离.当直接去掉绝对值的难度比较大时,一般转化为几何意义来考虑[8].例10.已知abcx都是实数,且abc则xaxbxc的最小值为()解:由xa的几何意义可知xaxbxc的最小值的几何意义是在数轴上求一点x使得它到abc3个点的距离之和最小.那么如下图所示,当这个点取在b点的位置时,它到abc3个点的距离之和最小为cacbac-xx-a因为当点x取在b点