高等代数第六章

第六章线性空间§0.引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广．在解析几何中讨论的三维向量，其加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．把三维向量推广为n维向量，定义n维向量的加法和数量乘法运算，可以阐明线性方程组的解集合的理论等．具体做法：把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．§1.集合与映射集合的定义集合间的关系与运算映射的定义映射的运算与性质1.集合的定义定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整体；组成集合的这些事物称为集合的元素。集合用大写字母A、B、C等表示；集合的元素用小写字母a、b、c等表示．Note“集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔（Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果.集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.集合的表示方法描述法：M＝｛x|x具有性质P｝列举法：M＝｛a1，a2，…，an｝元素与集合的关系1.2.空集：φ约定：空集是任意集合的子集合.｛φ｝≠φ｛0｝≠φa属于A，记作：；aAa不属于A，记作:.aA2.集合间的关系与运算1.B是A的子集(B包含于A)，记作BABA当且仅当xBxA2.A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且ABBA3.A与B的交：；{}ABxxAxB且4.A与B的并：;{}ABxxAxB或显然有:;ABAAAB5.A与B的差：;}|{BxAxxBA且6.A与B的积：。}|),{(ByAxyxBA且Ex1.若集合A有n个元素，则含有k(kn)个元素的A的子集有多少个？2.已知,求}|{},|{BBBNAAAMnnnnNMNMNM,,3.映射的定义定义：映射指一个对应法则，象与原象：Note:'MM'MM或设M、M´是给定的两个非空集合，通过法则σ，有对于与之对应，则称σ为M到M´的一个映射，记做MaMa|,称a´为a在映射σ下的象，而a´称为a在映射σ下的原象，记作σ(a)＝a´或:.aa(){()}MaaM①M在映射σ下的象，Imσ＝Im'M显然，②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．例题11）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝2，τ：τ(a)＝3,τ(b)＝2,τ(c)＝2,τ(c)＝32）M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,nZ3）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,nZτ：τ(n)＝|n|＋1,nZ4）M＝，M´＝P，（P为数域）nnPσ：σ(A)＝|A|，nnAP5）M＝P，M´＝，（P为数域）nnPτ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）aP（不是）（不是）（是）（不是）（是）（是）（是）（满）（满）（单）（双）6）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.σ：σ(a)＝a0，aM7）M是一个集合，定义I：I(a)＝a，aM称I：M→M为M上的恒等映射或单位映射．Note（是）（是）1)映射σ：M→M´中为M、M´可以相同或不同．2)M中元素的象要唯一、且M´中每个元素都要有象.3)M中不同元素的象可能相同.4)函数可以看成是映射的一个特殊情形：任意一个在实数集R上的函数都是实数集R到自身的映射.y＝f(x)（既非单，也非满）（双）Ex4.映射的性质与运算定义：映射的乘积例子（例题1中4）和5））Note设映射，:',:'''MMMM乘积定义为：(a)＝τ(σ(a))aM②对于任意映射，有:'MMMMII④结合律:',:''',:'''''MMMMMM，有()()③映射的乘法不满足交换律，①是M到M“的一个映射映射的性质满射：单射：双射：ExNote：双射的乘积还是双射.σ是M到M´的一个满射（或称σ为映上的）：（即对于任意'yM，均存在xM，使），()yx若Im'Mσ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；121212,,,()()aaMaaaa若则（或121212,,()(),aaMaaaa若则），σ既是单射，又是满射。（或称σ为1—1对应）①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；②上结论不适用于无限集.如例1中的2）Note定义：映射的逆Note②σ的逆映射是由σ唯一确定的.已知双射定义为其的逆MM:1:',MM映射，满足对，当时，有aa)(aa)(1－Ma①只有双射才是可逆映射.MM1,111③④若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．例题例2、令1:,:,fxxgxxRx，问：1）g是不是R＋到R＋的双射？g是不是f的逆映射？2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．1）如果g是单射，那么σ也是单射；2）如果g是满射，那么τ也是满射；3）如果σ、τ都是双射，那么g也是双射，并且CBBA:,:例3、设映射，证明：g，令：1111)(g§2.线性空间的定义和简单性质线性空间的定义线性空间的简单性质12121122(,,,)(,,,)(,,,)nnnnaaabbbababab1212(,,,,,)(,,)nnkaaakakkakaP而且这两种运算满足一些重要的规律,如对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：0()()()01()()klkl()klkl()kkk引例1,,,,nPklP对于而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律：数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，()()()()fxgxgxfx(()())()()(()())fxgxhxfxgxhx()(())0fxfx()0()fxfx()()()()klfxkfxlfx(()())()()kfxgxkfxkgx引例21()()fxfx)()())((xfklxlfk1.线性空间的定义定义P是一个数域，称V是数域P上的一个线性空间，若1）V是一个非空集合，2）V中元素对于定义的加法运算封闭，3）P与V的元素之间定义的数量乘法运算封闭，4）上两种运算满足下列8条规则：①④对,V都有V中的一个元素β，使得1⑤⑥()()klkl⑦()klkl③在V中有一个元素0，对,0V有（具有这个性质的元素0称为V的零元素）;（β称为的负元素）0②()()⑧()kkk3．线性空间的判定：1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．称为线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者Note为数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添上和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间。构成数域P上的一个线性空间。零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法1110110[]{(),,,}nnnnPxfxaxaxaaaaP数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法mn引例1,2中的Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例1线性空间mnP例3例2线性空间P[x]nlogbaabkkaaababkkaa判断R＋是否构成实数域R上的线性空间.1)加法与数量乘法定义为：,,abRkR2)加法与数量乘法定义为：,,abRkR任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间．全体正实数R＋，例5例4即n阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．例6()()[],nnVfAfxRxAR线性空间例7收敛于0的实数无限序列对于极限的加法和数乘能否构成线性空间．2.线性空间的性质1、零元素是唯一的.2、任意元素的负元素是唯一的，记为-．◇利用负元素，可以定义减法：()3、)1(,00,00k4、k＝0k＝0或＝0.例7证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量.只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.NoteEx§3.维数、基与坐标基本概念线性空间中向量之间的线性关系线性空间的维数、基与坐标V是数域P上的一个线性空间1212,,,(1),,,,,rrVrkkkP其中1122rrkkk对于，若存在12,,,,rV12,,,rkkkP1122rrkkk使1.基本概念的一个线性组合：向量组12,,,r1）向量可经向量组线性表出：12,,,r2）3）向量组12,,,r可由向量组12,,,s线性表示：若向量组中每一向量皆可经向量组12,,,s12,,,r线性表出，若两向量组可以互相线性表出。对于12,,,rV，若存在不全为零的数12,,,rkkkP，使得11220rrkkk两个向量组等价的：4）向量组线性相关：12,,,r5）向量组线性无关：12,,,r6）11220rrkkk120rkkk单个向量线性无关02.线性空间中向量之间的线性关系单个向量线性相关0.1）向量组线性相关12,,,r12,,,r中有一个向量可经其余向量线性表出．2）3）若向量组线性无关，且可被12,,,r向量组线性表出，则12,,,s;rs4）若与为两线性无关的12,,,r12,,,s等价向量组，则.rs向量组线性无关，12,,,r5）12,,,,r线性相关向量组线性表出，12,,,r可被向量组且表法是唯一的．3.线性空间的维数、基与坐标无限维线性空间定义：若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间。例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的。n维线性空间；常记作dimV＝n.若在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，则称V是一个在n维线性空间V中，n个线性无关的向量12,,,n，称为V的一组基；有限维线性空间定义：n维线性空间Note：零空间的维数定义为0，即dimV＝0V＝{0}定义：基有时也形式地记作1212(,,,)nnaaa下的坐标，记为12(,,,).naaa设为线性空间V的一组基，12,,,n,V则数组，就称为在基12,,,n12,,,naaa112212,,,,nnnaaaaaaP若②同一元素在不同基下的坐标一般是不同的．定义：坐标Note①向量在基下的坐标唯一的.12,,,nⅰ）线性无关；12,,,nⅱ）可经线性表出,,V12,,,n则V为n维线性空间，为V的一组基．12,,,n线性空间的基与维数的确定若线性空间V中的向