无穷级数练习题

1无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nnnax的收敛半径为3，则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为。2、幂级数0(21)nnnx的收敛域为。3、幂级数211(3)2nnnnnx的收敛半径R。4、幂级数01nnxn的收敛域是。5、级数21(2)4nnnxn的收敛域为。6、级数0(ln3)2nnn的和为。7、111()2nnn。8、设函数2()fxxx()x的傅里叶级数展开式为01(cossin)2nnnaanxbnx，则其系数3b的值为。9、设函数21,()1,fxx0,0,xx则其以2为周期的傅里叶级数在点x处的敛于。10、级数11(1)(2)nnnn的和。11、级数21(2)4nnnxn的收敛域为。参考答案：1、(2,4)2、(1,1)3、3R4、1,1)5、(0,4)6、22ln37、48、239、21210、1411、(0,4)二、选择题21、设常数0，而级数21nna收敛，则级数21(1)nnnan是（）。（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛与有关2、设2nnnaap，2nnnaaq，1.2n，则下列命题中正确的是（）。（A）若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛。（B）若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛。（C）若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq的敛散性都不一定。（D）若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq的敛散性都不定。3、设0,1,2nan，若1nna发散，11(1)nnna收敛，则下列结论正确的是（）。（A）211nNa收敛，21nna发散.（B）21nna收敛，211nna发散.（C）2121()nnnaa收敛.（D）2121()nnnaa收敛.4、设为常数，则级数21sin()1()nnnn是（）（A）绝对收敛.（B）条件收敛.（C）发散.（D）收敛性与取值有关.5、级数1(1)(1cos)nnn（常数0）是（）（A）发散.（B）条件收敛.（C）绝对收敛.（D）收敛性与有关.6、设1(1)ln(1)nnun，则级数（A）1nnu与21nnu都收敛.（B）1nnu与21nnu都发散.（C）1nnu收敛而20nnu发散.（D）1nnu发散而21nnu收敛.37、已知级数12111(1)2,5nnnnnaa，则级数1nna等于（）。（A）3.（B）7.（C）8.（D）9.8、设函数2()(01)fxxx，而1()sinnnSxbnx，x其中102()sinnbfxnxdx，1,2,3n，则1()2S等于（）。（A）12.（B）14.（C）14.（D）12.9、设,()22,xfxx102112xx01()cos2nnaSxanx，x其中102()cosnafxnxdx(0,1,2,)n则5()2S等于（）。（A）12.（B）12.（C）34.（D）34.10、设级数1nn收敛，则必收敛的级数为（A）1(1)nnnun.（B）n21nnu.（C）2121()nnnuu.（D）11()nnnuu.11、已知级数11(1)2nnna，2151nna，则级数1nna等于（）。（A）3.（B）7.（C）8.（D）9.12、若级数1nna收敛，则级数（）（A）1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.（C）11nnnaa收敛.（D）112nnnaa收敛.13、若0(1)nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处（）。（A）条件收敛.（B）绝对收敛.（C）发散.（D）敛散性不能确定.414、设幂级数0nnnax与1nnnbx的收敛半径分别为53与13，则幂级数221nnnnaxb的收敛半径为（）（A）5.（B）5.3（C）1.3（D）1.5参考答案：1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA三、解答题1、设()fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0xfxx，证明级数11()nfn绝对收敛。【分析一】0()lim0xfxx表明0x时()fx是比x高阶的无穷小，若能进一步确定()fx是x的p阶或高于p阶的无穷小，1p，从而1()fn也是1n的p阶或高于p阶的无穷小，这就证明了11()nfn绝对收敛。【证明一】由0()lim0xfxx及()fx的连续性(0)0,(0)0ff。再由()fx在0x邻域有二阶连续导数及洛必达法则2000()()()1limlimlim(0)222xxxfxfxfxfxx20()1lim(0).2xfxfx由函数极限与数列极限的关系21()1lim(0)12xfnfn因211nn收敛11()nfn收敛，即11()nfn绝对收敛。2、设正项数列na单调减小，且1(1)nnna发散，试问级数11()1nnna是否收敛？5【分析与求解】因na单调下降有下界0极限lim0nxaa。若0a，由莱布尼兹法则，并错级数1(1)nnna收敛，与假设矛盾，于是0a。现在对正项级数11()1nnna可用根值判别法：因为111lim()lim1111nnnnnnaaa，所以原级数收敛。3、求幂级数113(2)nnnnxn收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。【分析与求解】直接用求收敛半径的公式，先求111111limlim.3(2)323(1())3nnnnnnnnnn于是收敛半径3R，收敛区间为(3,3).当3x时是正项级数：131.3(2)nnnnn311()3(2)nnnnnn，而11nn发散，1313(2)nnnnn发散，即3x时原幂级数发散。当3x时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)nnnnnnnnnnn(1)213(2)nnnnnn因1213123(2)limlim0,()23(2)33nnnnnnnnnnnnnn收敛，61213(2)nnnnn收敛，又1(1)nnn收敛1313(2)nnnnn收敛，即3x时原幂级数收敛。4、（1）验证函数3693()1()3!6!9(3)!nxxxxyxxn满足微分方程xyyye；（2）利用（1）的结果求幂级数30(3)!nnxn的和函数。【分析与求解】（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).这是缺项幂级数，令3tx，则原级数300(3)!(3)!nnnnxtnn由11(3(1))!limlim01(33)(32)(31)(3)!nnnnnnn(,)t，从而(,)x时原级数收敛。其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：311()(31)!nnxyxn，321()(32)!nnxyxn，(,).x于是()()()yxyxyx32313110(32)!(31)!(3)!nnnnnnxxxnnn级数的线性性质3231311()(32)!(31)!(3)!nnnnxxxnnn2345601()()2!3!4!5!6!!nnxxxxxxxnxe().x（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）7（2）因为幂级数30(3)!nnxn的和函数()yx满足微分方程.xyyye①又知(0)1,(0)0.yy②所以为求()yx只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②该方程相应的齐次方程的特征方程为210.特征根为1,21322i相应齐次方程的通解为121233(cossin).22xyecxcx设非齐次方程的一个特解为xyAe，代入方程①得3.xxyyyAee1.3A非齐次方程①的通解为212331(cossin).223xxyecxcxe令0x，由初始条件②1121(0)1,3131(0)0.223ycycc122,0.3cc因此320231()cos(3)!323xnxnxyxexen()x5、求幂级数1211(1)(1)(21)nnnxnn的收敛区间与和函数().fx【分析与求解】这是缺项幂级数，令2,tx考察1nnnat，其中11(1)(1).(21)nnann8由12nnnalim1.nnna1nnnat的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(1,1)。下面求和函数：212212(1)2212110()(1)(1)(1),1nnnnnnnnnxfxxxxxxx12211()(1)(21)nnnfxxnn，21121()2(1),21nnnxfxn12(1)2212()2(1)1nnnfxxx(1)x注意22(0)0,(0)0ff，积分两次得222001()()22arctan1xxfxftdtdtxt,222000()()2arctan2arctan21xxxtfxftdttdtxxdtt22arctan1(1)xxnx(1).x因此，22122()()()2arctan1(1).1xfxfxfxxxnxx6、求级数201(1)(1)2nnnnn的和。【分析与求解】先将级数分解：2000111(1)(1)(1)(1)().222nnnnnnnnAnnnn第二个级数是几何级数，它的和已知0112().1231()2nn求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察01(1)1nnnxx(1)x9230012()(1)(1)(1)()1(1)nnnnnnSxnnxxxx230111124(1)(1)().1222427(1)2nnnnnS因此原级数的和4222.27327A7、求级数2212(1)nnn的和。【分析与求解】先用分解法将原级数分解。11122211111()2112(1)2(1)nnnnnnAnnnn记12.AA要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是1(1)nx，即11(1)1(1)nnnnxxn(11).x于是11221112(1)2nnnnAnn111(1)1111()1(1)1242424nnnnnn，2123112(1)2nnnnAnn