排列与组合的综合应用题

第47讲排列与组合的综合应用题【学习目标】1．进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理的思想，熟练掌握排列、组合计算公式．2．提升综合应用排列，组合的知识解决一些简单的应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想．【基础检测】1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有()A．24种B．18种C．12种D．6种B【解析】先选后排，共C23A33＝18种．2．从A、B、C、D、E五名学生中选出四名学生参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．24B．48C．120D．72D【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除A外的4人中选2人参加理、化竞赛，有A24种选法；第二步：从剩余3人中选2人参加数、英竞赛，有A23种选法，共A24·A23＝72种．解法二：特殊元素法：分选A及不选A两种，共C34·C12A33＋A44＝72种．解法三：排除法：A45－C12A34＝120－48＝72种．3．5本不同的书，全部分给四名学生，每人至少一本，不同分法的种数为()A．480B．240C．120D．96B【解析】先将5本书分成4组，有C25种方法，再将4组书分给4名同学有A44种，由分步计数原理共C25A44＝240种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共有条，以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥共有个，过三棱柱任两个顶点的异面直线共有对．151236【解析】两点确定一条直线，共C26＝15条；不在同一平面内的四个点确定一个三棱锥，由排除法得C46－3＝12个三棱锥；每个三棱锥可确定三对异面直线，故有12×3＝36对异面直线．5．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成个不同的三位数．432【解析】解法一(间接法)：任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33(个)，其中0在百位的有C24·22·A22(个)，这是不符合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．解法二(直接法)：第一类：0与1卡片放首位，可以组成不同的三位数有C2422A22＝48(个)；第二类：0与1卡片不放首位，可以组成不同三位数有(C142)(C2422A22)＝8×48＝384(个)，故共有不同三位数：48＋384＝432(个)．【知识要点】一、求解排列与组合的综合应用题，通常有三条途径：(1)以元素为分析对象，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，即优元法；(2)以位置为分析对象，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，即优位法．这两种方法都是直接法；(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数，即间接法．二、解决排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法与位置分析法；插空法与捆绑法等．三、解答组合应用题的总体思路为：1．整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时用分类计数原理．2．局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用分步计数原理．3．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选元素”，效果会更好．一、分组分配问题例1有不同的6本书分别给甲、乙、丙三人．(1)如果每人得2本，有多少种方法？(2)如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？(3)如果一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？(4)如果一人4本，其余两人各1本，有多少种分法？【解析】(1)甲先取2本有C26种方法；乙再取剩余4本中的2本有C24种方法；丙再取最后的2本有C22种方法．因此总共有C26·C24·C22＝90种方法．(2)甲、乙、丙三人中，甲得一本的方法数为C16，乙得2本的方法数为C25，丙得3本的方法数C33，所以共有C16·C25·C33＝60种．(3)三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人谁是甲、乙、丙可有A33种方法，所以共有C16·C25·C33·A33＝360种．(4)先分组，有C26种方法，再分给3人，有A33种分法，故共有C26A33＝90种分法．【点评】1.平均分组问题应防止重复的情况．如{1,2}，{3,4}，{5,6}与{1,2}，{5,6}，{3,4}是同一分组，但每组取出的先后顺序不同.一般地，把n本不同的书平均分成m堆的分法等于取法与m！的商．2．像问题(3)某人得几本是不定的，应先分组再分配，分两步完成．二、先选后排问题例2有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法种数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(3)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【解析】(1)先取后排，先取有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)A55＝5400(种)．(2)先取后排，但先安排该男生，有C47C14A44＝3360(种)．(3)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C36种．再安排该男生有C13种，其余3人全排列有A33种，共有C36C13A33＝360(种)．【点评】综合应用排列与组合知识求解的问题的策略通常是“先选后排”和“边选边排”两种方法．三、数字排列问题例3用数字1、2、3、4、5、6组成无重复数字的四位数，然后把它们由小到大排成一个数列．(1)这数列的第200项是多少？(2)求这个数列各项的和．【解析】(1)由题易知：1或2开头的排列数共有120个，再加上3开头的排列数才共有180个，如果加上4开头的，则共有240个，所以第200项应该是4开头的数．而形如数，有A24＝12个．故200项在形如中．又，各有3个数，故此数应在形如中的第二个数、即符合180＋12＋3＋3＋2＝200.故所求第200项为：4253.4142421423425(2)数1出现在千位上的四位数的个数为A35，出现在百位上的四位数的个数为A35，出现在十位和个位上的四位数的个数都应该是A35.同理2、3、4、5、6每一个数在千、百、十和个位上出现的四位数的个数都是A35.于是这个数列各项的和是：(1＋2＋3＋4＋5＋6)×(103＋102＋10＋1)·A35＝21×1111×60＝1399860.【点评】有关由若干个数字组成满足某条件的数的问题通常应用“特殊元素先排法”或“减去法”，思考这类问题时应注意数字“0”是否参与、组成的数是多少位数、数字使用时是否可以重复这三个基本方面．四、几何型排列组合问题例4(1)将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现共有5种颜色可供使用，问共有多少种不同染色方法？(2)已知直线l：xa＋yb＝1(a，b是非零常数)与圆C：x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，求满足条件的直线l的条数．【解析】(1)如图，由题意记5种颜色分别为1、2、3、4、5.先将四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B染好色，共有A35种染色方法；再将C、D染色，设S、A、B已染上的颜色分别为1、2、3，则若C染颜色2，则D可染颜色3或4或5；若C染颜色4，则D可染颜色3或5；若C染颜色5，则D可染颜色3或4；共有7种染色方法．由分步计数原理，染色方法总数为A35×7＝420种．(2)在第一象限内圆x2＋y2＝100上的整数点只有(6,8)，(8,6)；在坐标轴上，(±10,0)，(0，±10)也在圆上，故圆C上的整数点共12个．过这12个点的圆C的切线和割线共有12＋C212＝78条，而不合题意的有过原点，斜率为0，斜率不存在的直线各6条，故共有78－3×6＝60条．【点评】几何型排列组合问题需充分利用题设情境相应的几何性质，利用分类整合的方法求解．五、创新型排列组合问题例5(1)一个五位数abcde，当且仅当它满足abc，cde时，称为凸数，则所有的五位数中凸数的个数是()A．8568B．2142C．2139D．1134B(2)设集合M＝{1、2、3、4、5、6}，S1，S2，…，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si＝{ai，bi}，Sj＝{aj，bj}(i≠j，i，j∈{1,2,3，…，k})，都有min{aibi，biai}≠min{ajbj，bjaj}(min{x，y}表示两个数x、y中的较小者)．则k的最大值是()A．10B．11C．12D．13B【解析】(1)设中间数为k(3≤k≤9)，由凸数定义知前两位可从1,2，…，k－1中任取2个，有C2k－1种．后两位可从0,1,2，…，k－1中任取2个有C2k种，故凸数共有C2k－1·C2k＝kk－12k－24个．故中间数k为3,4,5,6,7,8,9的五位凸数分别有3,18,60,150,315,588,1008个，从而总个数为3＋18＋60＋150＋315＋588＋1008＝2142个，故选B.(2)M＝{1,2,3,4,5,6}中含两个元素的子集的个数为C26＝15；而min{ajbj，bjaj}表示取其中较小的那个，如min{12，21}，取12；又min{aibi，biai}≠min{ajbj，bjaj}，可知与{1,2}相同的有{2,4}，{3,6}；与{1,3}相同的有{2,6}；与{2,3}相同的有{4,6}；所以k的最大值为15－4＝11.故选B.【点评】有关排列、组合的创新型问题通常是新定义型问题，分析求解的关键是由题意理解新定义的含义及设置的条件．〔备选题〕例6如图，用四种不同颜色给图中A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种B【解析】分两类：第一类：涂三种颜色，先涂点A、D、E有A34种方法，再涂B、C、F有2种方法，共有A34×2＝48种方法；第二类：涂四种颜色，先涂点A、D、E有A34种方法，再涂点B、C、F有3C13种方法，共有A34·3C13＝216种方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264种不同涂法，故选B.【点评】本小题考查排列组合、计数原理等基础知识以及分类讨论的数学思想．排列组合问题的常见解法主要有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直接处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略．(2011北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有个．(用数字作答)14【解析】分类：(1)2出现1次，3出现3次时，有C14个四位数．(2)2出现2次，3出现2次，共有C24个四位数．(3)2出现3次，3出现1次，共有C14个四位数．共有C14＋C24＋C14＝14个．【命题立意】本题主要考查排列组合及分类讨论思想．1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，保持原来节目的相对顺序不变，那么不同插入方法的种数为()A．42B．36C．20D．12A【解析】这是定序问题，有A27＝42种方法．2．某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍子女的教育情况，如果要求这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法的种数是()A．60B．120C．240D．270C【解析】C1