高数3—中值定理及导数应用

1高数复习题3——中值定理及导数应用一、填空题1．xxxlnlim0__________________．2．函数xxy2的极小值点为x．3．曲线3233ttytx在对应于1t的点处的曲率为．4．设0x时，12bxaxex是比2x高阶的无穷小，则a，b．5．极限xxxln111lim1．二、单项选择题1．函数)(xfy在点0xx处导数为零是)(xf在点0xx取到极值的（）（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）非充分、非必要条件。2．设1)()()(lim3axafxfax，则点ax（）．（Ａ）是极大值点；（Ｂ）是极小值点；（Ｃ）不是极值点；（Ｄ）以上结论都不一定成立．3．函数xxy在区间),1[e上（）．（Ａ）不存在最大值，不存在最小值；（Ｂ）最大值是ee1；（Ｃ）最大值是ee1；（Ｄ）最小值是ee1．4．设)(xf有二阶连续导数，且1)(lim,0)0(0xxffx，则（）．（Ａ）)0(f是)(xf的极大值；（Ｂ）)0(f是)(xf的极小值；（Ｃ）))0(,0(f是曲线)(xfy的拐点；（Ｄ）)0(f不是)(xf的极值，))0(,0(f也不是曲线)(xfy的拐点．25．设函数)(xf有三阶连续导数，且满足：0)(,0)(,0)(000xfxfxf；则下列结论正确的是（）（A）)(0xf是)(xf的极大值；（B）)(0xf是)(xf的极小值；（C）)(0xf不是)(xf的极值；（D）不能判别)(0xf是否为极值。6．设)(xf在定义域内可导，函数)(xfy图形如图所示，则导函数)('xfy的图形为（）。)(xfy图象)(xfy图象)(xfy图象三、求极限（1）xxx)arctan2(lim；（2）)sin()1(cos2lim20xxxxxx（3）xexxxxsin)1(211lim220四、设函数)(xf在),(上满足)()(xfxf且1)0(f，证明xexf)(3五、（1）当)2,0(x时，证明xxx3sin2tan（2）若20，证明不等式：22costantancos。六、设函数)(xf对一切),(x，满足方程xexfxxfx11)()1(2)()1(证明：当)(xf在)1(00xxx取得极值，则)(0xf是极小值。七、设函数)(xf在区间),0[上连续、可导，0)0(f，)(xf单调增加，证明：xxfxg)()(在区间),0(单调增加。八、求函数32)2(1)(xxf，110x的最大值和最小值．九、已知某企业生产一种电子产品，生产x件产品的成本为240120025000xxC（单位：元），试问：（1）要使每件产品的平均成本最小，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使总利润最大，应生产多少件产品？十、求曲线112xxy的单调区间，极值点，凹凸区间，拐点坐标及铅直、水平和斜渐近线方程，并绘出曲线的图形．参考答案一、填空题1．xxxlnlim0____0______________．2．函数xxy2的极小值点为x2ln1．3．曲线3233ttytx在对应于1t的点处的曲率为16．44．设0x时，12bxaxex是比2x高阶的无穷小，则a21，b1．5．极限xxxln111lim112．二、单项选择题1．函数)(xfy在点0xx处导数为零是)(xf在点0xx取到极值的（D）（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）非充分、非必要条件。2．设1)()()(lim3axafxfax，则点ax（C）．（Ａ）是极大值点；（Ｂ）是极小值点；（Ｃ）不是极值点；（Ｄ）以上结论都不一定成立．3．函数xxy在区间),1[e上（D）．（Ａ）不存在最大值，不存在最小值；（Ｂ）最大值是ee1；（Ｃ）最大值是ee1；（Ｄ）最小值是ee1．4．设)(xf有二阶连续导数，且1)(lim,0)0(0xxffx，则（B）．（Ａ）)0(f是)(xf的极大值；（Ｂ）)0(f是)(xf的极小值；（Ｃ）))0(,0(f是曲线)(xfy的拐点；（Ｄ）)0(f不是)(xf的极值，))0(,0(f也不是曲线)(xfy的拐点．5．设函数)(xf有三阶连续导数，且满足：0)(,0)(,0)(000xfxfxf；则下列结论正确的是（C）（A）)(0xf是)(xf的极大值；（B）)(0xf是)(xf的极小值；（C）)(0xf不是)(xf的极值；（D）不能判别)(0xf是否为极值。6．设)(xf在定义域内可导，函数)(xfy图形如图所示，则导函数)('xfy的图形为（D）。5)(xfy图象)(xfy图象)(xfy图象三、求极限（1）xxx)arctan2(lim；解：xxxxxxxxeex1)arctan2ln()arctan2ln(limlim)arctan2(lim2)1(arctan2112lim1)arctan2ln(lim22xxxxxxxxxx)arctan2(lim=2e（2）)sin()1(cos2lim20xxxxxx21))(!31()1)(!41211(2lim)sin()1(cos2lim332442020xoxxxxxxoxxxxxxxzx（3）xexxxxsin)1(211lim2206212111limsin)1(211lim22220220xxxxxexxxxx．四、设函数)(xf在),(上满足)()(xfxf且1)0(f，证明xexf)(证明：令()()xFxefx则()Fx在),(上连续，可导，且()()()0xxFxefxefx，所以()FxC，又因为0(0)(0)1()1()xFefFxfxe五、（1）当)2,0(x时，证明xxx3sin2tan证明：令xxxxf3sin2tan)(，0)0(f，3cos2sec)(2xxxf，0)0(f，0)1(secsin2sin2tansec2)(32xxxxxxf，所以，)(xf当)2,0(x单调递增，0)0()(fxf，则)(xf当)2,0(x单调递增，0)0(3sin2tan)(fxxxxf，即当)2,0(x时，证明xxx3sin2tan（2）若20，证明不等式：22costantancos。证明：令()tanfxx，则()fx在[,]上连续，在(,)上可导，由Lagrange中值定理，存在(,)使得221tantansec()()cos因为20，所以cosx单调递减22tantancoscos六、设函数)(xf对一切),(x，满足方程xexfxxfx11)()1(2)()1(证明：当)(xf在)1(00xxx取得极值，则)(0xf是极小值。证明：若0x是极值点，并且0()fx存在，所以0()0fx，则01001()01xefxx，所以)(0xf是极小值。七、设函数)(xf在区间),0[上连续、可导，0)0(f，)(xf单调增加，7证明：xxfxg)()(在区间),0(单调增加。证明：2()()()xfxfxgxx，由Lagrange中值定理存在(0,)x，使得()()fxfx，所以()()()fxfgxx，因为)(xf单调增加，所以()()fxf，所以()0gx因此()gx单调增加。八、求函数32)2(1)(xxf，110x的最大值和最小值．解：32(10)3(1)0()232fffxxx是不可导点，(2)1f所以最大值(2)1f最小值(10)3f九、已知某企业生产一种电子产品，生产x件产品的成本为240120025000xxC（单位：元），试问：（1）要使每件产品的平均成本最小，应生产多少件产品？解：2500020040cxyxx，22500010100040yxx（2）若产品以每件500元售出，要使总利润最大，应生产多少件产品？解：21150050025000200300250004040Lxcxxxxx23000600040xLx十、求曲线112xxy的单调区间，极值点，凹凸区间，拐点坐标及铅直、水平和斜渐近线方程，并绘出曲线的图形．22)1(12xxxy210xy3)1(4xyx)21,(21)1,21()21,1(21),221y0000y0000y单增凸222单减凸单减凹222单增凹11121limxxxx垂直渐近线112limxxx不存在水平渐近线81112lim])([lim1)1(2lim)(lim22xyxxxkxxfbxxxxxfkxxxx斜渐近线