点到直线的距离教案--公开课

1《点到直线的距离》教案教学目标（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导教学方法：启发引导法、讨论法学习方法：任务驱动下的研究性学习教学工具：计算机多媒体、三角板教学过程：一、创设情境、提出问题多媒体显示实际的例子：如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。二、师生互动、探究新知教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0,y0）和一条定直线l：Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。学生：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|的长度就是点P到直线l的距离d，将点线距离转化为定点到垂足的距离。接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）(1)求P（x0,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：0CdyB）仓库铁路2(2)求P（x0,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：0CdxA）第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。教师：根据以上2题的运算结果，你能得到什么启示？学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显示并板书：BCByBCyyyPQCBylAQ000,0:0时，当ACAxACxxxPQCAxlBQ000,0:0时，当教师：当0AB时，那么，而当直线是倾斜位置时，0:CByAxl，此时直线含有多个字母则较难；,虽然有一些思路，但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。点到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（1）、（2）的启示或者是以前学过的方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……教师根据学生提出的方案，收集思路。思路一：利用定义①求垂线PQ的方程（由PQ⊥l以及直线l的斜率可知垂线PQ的斜率，点斜式）②求交点Q坐标（联立方程组求解）③两点间距离公式上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎——运算较为繁琐。llOyxP(x0,y0)Q3（思路一）解：直线PQ：000,xxxxAByy，即00AyBxAyBx由000CByAxAyBxAyBx，22002BAACAByxBxQ2020yyxxdQQ教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐。如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提出问题：根据以往求两点间距离公式的图形构造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图形？如何构造？思路二：利用直角三角形等面积法如图，设A≠0，B≠0。引导过程：①点P的坐标的意义。②过P分别作x轴、y轴的垂线。③构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。④如果知道面积和底边，就可以求出高。现在要求RP、PS、SR的长度。⑤两点间距离公式，转化问求R、P、S的坐标。多媒体显示、师生一起推导：（思路二）解：设00,yxP，QQyxQ,，0,yxRR，SyxS,000CByAxR，ACByxR0；00CByAxS，BCAxyS0ACByAxxxRPR0000022AAxByCAB2220000022QBxAByACAxBxxxAB00QByyxxA0022AxByCBAB0022AxByCAB2200221ABAxByCAB4BCByAxyyPSS000由PSPRRSPQ，RSPSPRPQ而22PSRPRS222200BABACByAx2200BAABCByAx2200BACByAxPQ思路三：将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。各小组同学都运用了不同的解法，此类题解法灵活多样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。如果学生没有想到思路三，教师提示做课后思考作业题目。教师提问：①上式是由条件下时当0AB得出，对时，或当00BA成立吗？（成立）1.当A=0，B0时，0:CByl此时，直线为：BCy,直线为平行于x轴（或重合于x轴）的直线则：2200000)(BACByAxBCByBCyBCyPSPQ2.当A0，B=0时，0:CAxl此时，直线为：ACx，直线为平行于y轴（或重合于y轴）的直线则：2200000)(BACByAxACAxACxACxPRPQ②点P在直线l上成立吗？（成立）③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？由此推导出点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0距离公式：52200BACByAxd适用于任意点、任意直线。三、变式训练、学会应用练习1(学生上台展示)1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离。2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离。3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离。4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离。5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值。练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式。练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。教师强调：直线方程的一般形式，点到直线的距离公式熟练掌握才能在解题时游刃有余。四、拓展延伸、升华提高例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ＡＢＣ的面积。解：设AB边上的高为h，则hABSABC||21，22)31()13(||22AB,AB边上的高为h就是点C到AB的距离，AB边所在直线方程为:04yx.点)0,1(C到直线04yx的距离2511|041|22h.因此，5252221ABCS.6五、当堂检测2.6.22.10.04),(.2333.33.3.3.)(10433.1DCBAOPOyxyxPDCBAmyxlm）的最小值是（是原点，则上，在直线若点或等于，则的距离等于：）到直线，点（||六、学生小结、教师点评1.知识：点到直线的距离公式的推导及其运用。2.思想方法转化：将点线距离转化为定点到垂足的距离；等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距。离数形结合、特殊到一般的思想方法。七、课外练习巩固提高①课本习题3.3A组第8,9题；②总结写出点到直线距离公式的多种方法。八、板书设计3.3.3点到直线的距离1.两种特殊情况当A=0，B0时，0:CByl当A0，B=0时，0:CAxl2.一般情况AB0时，0:CByAxl思路一：按定义思路二：等面积法