第一章1.3-1.3.3函数的最大(小)值与导数

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1．3.3函数的最大(小)值与导数[学习目标]1.理解函数的最值的概念(难点)．2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)．3.会用导数求闭区间上函数的最大(小)值(重点、难点)．1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上一定能够取得最大值或最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在区间端点处或极值点处取得．温馨提示注意极值与最值的联系和区别：极值是函数的“局部”性质，而最值是函数的“全局”性质．2．求可导函数在[a，b]上最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的所有极值点；(2)计算函数y＝f(x)在各极值点和函数值f(a)，f(b)的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．温馨提示如果函数有最大值或最小值，则最大值或最小值是唯一的．如y＝sinx，有无数个极值点，但最大值和最小值分别是1和－1.1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)有些函数的最值不能通过求导数法求得．()(2)三次函数f(x)没有最大值，也没有最小值．()(3)连续不断的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上一定有最大值或最小值．()(4)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．()解析：(1)对，如f(x)＝|x|的最值不能通过求导数法求得．(2)对，三次函数的定义域和值域都是R，没有最值．(3)错，若函数y＝f(x)在(a，b)上是单调函数，则没有最值．(4)错，有极值的函数不一定有最值．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．连续不断的函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能解析：因为最大值等于最小值，所以该函数是常数函数，所以f′(x)＝0.答案：A3．函数f(x)＝x－2sinx在0，π2上的最小值点为()A．x＝0B．x＝π6C．x＝π4D．x＝π2解析：令f′(x)＝1－2cosx＝0，得cosx＝22，又x∈0，π2，所以x＝π4，又f(0)＝0，fπ2＝π2－2，fπ4＝π4－1，所以f(π4)最小，所以最小值点为x＝π4.答案：C4．函数y＝xex的最小值为________．解析：y′＝ex＋x·ex，令y′＝0，得x＝－1.所以ymin＝－1×e－1＝－1e.答案：－1e5．已知f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)在[－2，2]上有最小值3，那么f(x)在[－2，2]上的最大值是________．解析：令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.当x∈(－2，0)时，f′(x)0；当x∈(0，2)时，f′(x)0，x＝－2，0，2对应的f(x)的值分别为a－40，a，a－8.因为a－40a－8a，所以a－40为最小值，a为最大值，则a－40＝3，a＝43，故f(x)在[－2，2]上的最大值是43.答案：43类型1求函数在闭区间上的最值(自主研析)[典例❶](2017·北京卷)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解：(1)x∈R，f(0)＝e0cos0－1＝1，又f′(x)＝excosx－exsinx－1，则f′(0)＝e0cos0－e0sin0－1＝0，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0，即y＝1.(2)设g(x)＝f′(x)＝excosx－exsinx－1，则g′(x)＝excosx－exsinx－exsinx－excosx，即g′(x)＝－2exsinx，当x∈0，π2时，ex0，sinx0，故g′(x)0，则g(x)单调递减，则g(x)≤g(0)＝0，即f′(x)≤0，故f(x)单调递减，则fπ2≤f(x)≤f(0)，即－π2≤f(x)≤1，故f(x)的最大值为1，最小值为－π2.归纳升华1．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步骤如下：(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点；(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．3．若连续函数在区间[a，b]上是单调函数，则在区间端点处取得最大值和最小值．[变式训练](1)函数f(x)＝xe－x(x∈[0，4])的最小值、最大值分别为a，b，则a＋b＝________．(2)a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．(1)解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．令f′(x)＝0，得x＝1，因为f(1)＝1e，f(0)＝0，f(4)＝4e4，所以f(x)的最小值a＝f(0)＝0，最大值为b＝f(1)＝1e，所以a＋b＝1e.答案：1e(2)解：f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0，1]，则只考虑x＝a的情况．①若0a1，即0a1，则当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2aa.(如下表所示)x0(0，a)a(a，1)1f′(x)＋0－f(x)0↗极大值2aa↘3a－1②若a≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当0a1，x＝a时，f(x)有最大值2aa；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.类型2由函数的最值求参数[典例2]设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1，4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．解：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－12)2＋14＋2a，当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a；令29＋2a＞0，得a－19，所以当a－19时，f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间．(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝1－1＋8a2，x2＝1＋1＋8a2，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．因为0a2，所以x11x24，所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2)．又f(4)－f(1)＝－272＋6a0，所以f(4)f(1)，所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8a－403＝－163，得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)＝103.归纳升华已知函数的最值求参数或参数范围是求函数最值的逆向探究题型，解决这类问题，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，它们都含有参数，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数或其范围．[变式训练]设23＜a＜1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a，b.解：f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表所示：x－1(－1，0)0(0，a)a(a，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－32a＋b↗b↘－a32＋b↗1－32a＋b从上表可知，当x＝0，f(x)取得极大值b，而f(0)f(a)，f(1)f(－1)，故要比较f(0)与f(1)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－10，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a.所以－32a＝－62，所以a＝63.综上可得：a＝63，b＝1.类型3与函数最值有关的不等式恒成立问题[典例3]设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t0)，所以当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g′(t)＋0－g(t)↗极大值1－m↘所以g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m.h(t)－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m0.所以m的取值范围为(1，＋∞)．归纳升华解决含参数不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法．f(x)m恒成立⇔f(x)minm，f(x)m恒成立⇔f(x)maxm.[变式训练]已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．解：f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，xf′(x)＝xlnx＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x1时，g′(x)0，x＝1是g(x)的最大值点，所以g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是[－1，＋∞)．1．函数的最大值与最小值是一个整体性概念，最大值必须是函数定义域内所有函数值的最大值，最小值必须是函数定义域内所有函数值的最小值，而函数的极值则是函数的局部概念．要注意两者的区别与联系．2．在开区间上连续的函数不一定有最值．例如y＝log2x在区间(0，2)上是连续的，但在该区间上，y＝log2x既没有最大值，也没有最小值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：第1步：求y＝f(x)在开区间(a，b)内的极值；第2步：将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．