清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-06微分提法-A

1冯西桥清华大学工程力学系2006.11.09第六章弹性理论的微分提法DifferentialMethodofElasticity2弹性理论的微分提法弹性力学问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理Chapter64微分提法Chapter6.1,0jijif平衡方程(Navier)：1,,2()ijijjiuu几何方程(Cauchy)：应变协调方程：(Saint-Venant),,,,0ijklklijikjljlik本构方程：(1)应变－应力公式：(Hooke)1ijijkkijEE(2)应力－应变公式：(Lamé)2ijijkkijG5微分提法Chapter6.1当选位移作基本量时只需考虑几何方程，协调方程将自动满足；当选应变作基本量时，只需满足协调方程，就能保证由几何方程积分出单值连续的位移场来。两个本构方程也是等价的，于是有两组基本方程组：6第一组基本未知量：ij(6),ij(6),ui(3)平衡方程：(3)几何方程：(6)应力－应变关系：(6)ijkkijijG2微分提法,0jijif)(,,21ijjiijuuChapter6.17第二组基本未知量：ij(6),ij(6)平衡方程：(3)协调方程：(6-3)应变－应力关系：(6)微分提法,0jijif0,,,,ikjljlikijklklijChapter6.1ijkkEijEij18微分提法Chapter6.1边界条件：tSuSV3X2X1XSUS9微分提法Chapter6.1弹性理论中常见的三种边界条件：1.处处给定外部作用力的力边界条件S。边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式,,iXXYZonjijiXStSuSV3X2X1XSUS不能消除刚体位移要满足整体平衡条件。10微分提法Chapter6.1xxyzxyxyzyxzyzzXlmnYlmnZlmn分量形式为：◎当时称为自由表面，是力边界的特殊情况。◎集中力化为作用在微小面积上的均布表面力。◎集中力矩则化为非均布表面力。0iX11微分提法Chapter6.12.处处给定位移约束的位移边界Su。域内位移场的边界值应等于给定边界值：有时也可指定边界位移的导数值(例如，转角为零)或应变值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体运动。,,iuuvwoniiuuuS,,uuvvww12微分提法Chapter6.13.在部分边界S上给定外力，部分边界Su上给定位移的混合边界S。这时要求对于弹性动力学问题，还应给定初始条件。uuSSSSStSuSV3X2X1XSUS134.混合型边界条件在边界同一位置，给定部分位移分量和部分面力分量。51chapter3.6微分提法5.弹簧类边界条件iijjXKu146.对称和反对称条件51chapter3.6微分提法XYZ对称载荷：在对称面上，所有对称场变量的一阶导数等于零，所有反对称场变量的值等于零。反对称载荷：在对称面上，所有反对称场变量的一阶导数等于零，所有对称场变量的值等于零。15YXXY0:0,0xyxzxxu0:0,0xxyzxuu56chapter3.6微分提法6.对称和反对称条件16微分提法Chapter6.1弹性力学问题微分提法的基本思想：从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及弹性关系的一组基本方程，加上相应的边界条件把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。19微分提法Chapter6.1从求解的未知量方面考虑，可分为如下四类：位移为基本未知量应变为基本未知量应力（应力函数）为基本未知量混合未知量20微分提法、解法及一般原理弹性力学问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理Chapter621位移解法Chapter6.2位移解法是以位移分量ui作基本未知量的解法。即以位移分量的三个未知函数作为基本未知函数。这三个位移分量所对应的应力在物体内部应满足平衡微分方程。现经过下述步骤将平衡微分方程中的应力改用位移表示，从而得出用位移表示的平衡微分方程式。22位移解法Chapter6.2ijkkijijG2ijuij用位移表示的平衡方程（Lamé-Navier方程）,,0ijjjjiiiGuGufu几何方程ij本构关系平衡方程)(,,21ijjiijuu,0()jijiifu23位移解法Chapter6.2具体推导如下：先将几何关系代入广义虎克定律，可得2;2;2;xxyyyzzzxuvuGGxxyvwvGGyyzwuwGGzzxuvwxyz式中24位移解法Chapter6.22;2;2;xxyyyzzzxuvuGGxxyvwvGGyyzwuwGGzzx22222222xyxzxuGxxxvuGyxyyuwGzzxz25位移解法Chapter6.222222222xyxzxuGxxxvuGyxyyuwGzzxz0yxxzxXxyz代入20GGuXx第一个以位移表示的平衡微分方程26位移解法Chapter6.2同样可得其余两个方程，即2200GGvYyGGwZzuvwxyz式中27位移解法Chapter6.2上式实质上是位移形式的平衡方程式，这就是位移法的基本方程式。222000GGuXxGGvYyGGwZz综上,,0ijjiiGuGX指标形式28位移解法Chapter6.2边界条件若给定的是位移边界条件，则直接用位移表示，即,,uuvvwwxxyzxXlmn若给定的是表面力的边界条件，则可将其表面力以位移表示(以x方向为例)，29位移解法Chapter6.2xxyzxXlmn2;;xxyzxuvuuwGGGxxyzx代入2uvuuwXGlGmGnxxyzx30位移解法Chapter6.2222uvuuwXGlGmGnxxyzxvuvwvYGlGemGnxyyyzuwwvwZGlGmGenzxyzz用位移表示的外力边界条件：31位移解法Chapter6.2微分方程的解：齐次方程通解＋特解（易得）齐次的Lamé-Navier方程(即fi＝0的无体力情况)：将齐次方程对xi求导，并对指标i迭加后得而,,0ijjiGuG,,0ijjiiiGuG,,,,,ijjiiijjiijjuu32位移解法Chapter6.2,,0ijjiiiGuG,,,,,ijjiiijjiijjuu,0iiG是非零常数，故第一应变不变量应满足调和方程G,0ii即20其中称为调和算子或拉普拉斯算子。2222222xyz33根据，其中K为常数。故第一应力不变量(或平均正应力)也满足调和方程：上式作调和运算得：033K位移解法Chapter6.2,0ii200,0ii200即即,,0ijjiGuG222,0iiGuG34位移解法Chapter6.22(1)02(1)0由连续性条件及式(1)式得22,,0ii222,0iiGuG∵又∴40iu其中422444444444222222222xyzxyyzxz称为重调和算子。上式说明位移分量ui应满足重调和方程。35位移解法Chapter6.240iu连续性条件444,,102ijijjiuu2ijijkkijG代入44420ijijijG于是说明应力及应变分量也都满足重调和方程。36位移解法Chapter6.2弹性力学问题解的性质调和函数的性质（见下册p43）(1)调和函数的各阶导数均为调和函数(2)若为调和函数，则也是调和函数iix,调和函数和双调和函数的关系(1)若为调和函数，则也是双调和函数(2)若为调和函数，则是双调和函数(3)若为调和函数，则是双调和函数ixiixxr237位移解法Chapter6.2综上所述，在无体力情况下，第一应变不变量、第一应力不变量和平均正应力0都是调和函数。位移分量ui，应变分量ij和应力分量ij都是重调和函数。于是弹性力学的无体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。对于常体力情况fi＝const，不难验证这个结论同样适用。对于变体力情况，可先找一个特解(不必满足边界条件)，然后与上述齐次解迭加，使全解满足全部边界条件。38微分提法、解法及一般原理弹性力学问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理Chapter639应力解法Chapter6.3平衡方程：(3)协调方程：(6-3)应变－应力关系：(6)0,,,,ikjljlikijklklij)(0,iijijufijkkEijEij1应力解法是以应力分量作基本未知量的解法。40应力解法Chapter6.3ijijBeltrami-Michell方程：本构关系代入协调方程利用平衡方程ijkkijjiijijfff,,,,2111思路：消掉其余基本量，仅用应力表示：这就是应力解法的定解方程，称为应力协调方程或贝尔脱拉密-密乞尔方程，简称B-M方程，共含六个二阶椭圆方程。E.Beltrami(1835-1900)41应力解法Chapter6.3223112222321222233122223221211121112111111xyzyzzxffffxxxyzffffyyxyzffffzzxyzffyzzy231221211xyffxzzxffxyyx分量形式42应力解法Chapter6.3前面曾指出，六个应变协调方程并不完全独立，不能由它们独立解出六个应变分量。以此类推，六个应力协调方程也不可能完全独立，所以用应力解法解题时通常要求在域内同时满足六个B-M方程和三个平衡方程，且在边界