4平面问题的极坐标解答

弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答4平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程4.2极坐标中的几何方程与物理方程4.3极坐标中的应力函数与相容方程4.4应力分量的坐标变换式4.5轴对称应力与相应的位移4.6圆环或圆筒受均布压力4.7压力隧洞4.8圆孔的孔边应力集中4.9半平面体在边界上受集中力4.10半平面体在边界上受分布力主要内容弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOddPABC体力：ff,ff应力：PA面,ρρστPB面,ρστρτρσρτσ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答ρρσσdρρρρττdρρσσdρρττdσσdBC面ρρσσdρρρρττdρρρρττdAC面应力正向规定：、的正面上，与坐标方向一致时为正；、的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOddPABCffρτρσσρτ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：,0Fρσρdρτdρ()ρρττddρ()()ρρσσdρρdρdρ2dσdρ2σdσddρ0ρfρdρddd)(dρρσσdρρρρττdρρρρττdσσdxyOddPABCffρτρσσρτ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答dρτddρρσρdρdρρσρdρσdρd2ρσdρdρ2dσdρ2σdddρ2dσdρ0ρfρdρd将上式化开：（高阶小量，舍去）ρτddρρσρdρdρρσdρdσdρd0ρfρdρd1ρτρρσρρσσρ0ρf两边同除以：ρdρd弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答0,Fσσddρρτρdσdρ()ρρττdρρdρdρ2ρρτdτddρ2ρdτdρ0fρdρd两边同除以，并略去高阶小量：ρdρd210ρρττσfρρρdd)(dρρσσdρρρρττdρρρρττdσσdxyOddPABCffρτρσσρτ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答,0Mρρττ——切应力互等定理极坐标下的平衡方程为：方程中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。dd)(dρρσσdρρρρττdρρρρττdσσdxyOddPABCffρτρσσρτ1ρτρρσρρσσρ0ρf210ρρττσfρρρ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答4.2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程dxyOABdρuABρρuudρρ(1)只有径向位移，无环向位移。径向线段PA的相对伸长：PAPAAPPAPPAAduduuu1（a）径向线段PA的转角：01（b）PP弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答1β()ρρudρρuud线段PB的相对伸长：PBPBBP()ρρudρdρdu（c）1ε环向线段PB的转角：PBPPBB()ρρρuuduρd1ρuρ11tan（d）dxyOABdρuABρρuudρρPP弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答径向线段PA的相对伸长：径向线段PA的转角：01（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：1ρuρ1（d）u1（a）u1剪应变为：1111ρuρ（e）1β()ρρudρρuuddxyOABdρuABρρuudρρPP弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答(2)只有环向位移，无径向位移。径向线段PA的相对伸长：PAPAAP0ddd2（f）径向线段PA的转角：2uudρuραdρ（g）uρABuuuduudρρ2α2βdyxOPBdAP弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答环向线段PB的相对伸长：PBPBBPPBPPBBuuduρd1uρ2ε环向线段PB的转角：（h）2uβρ（i）剪应变为：222ργαβuuρρ（j）ABuuuduudρρ2α2βdyxOPBdAP弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答(3)总应变210uu12εεε1ρuuρρ12ρρργγγ1ρuuuρρρ整理得：——极坐标下的几何方程ρρuερ1ρuuερρ1ρρuuuγρρρ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答2.物理方程平面应力情形：1()ρρεσμσE1()ρεσμσE12(1)ρρρμγττGE平面应变情形：21()1ρρρμμεσσEμ12(1)ρρρμγττGE21()1ρμμεσσEμ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：几何方程：1ρτρρσρρσσρ0ρf210ρρττσfρρρρρuερ1ρuuερρ1ρρuuuγρρρ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答物理方程：1()ρρεσμσE(平面应力情形)1()ρεσμσE12(1)ρρρμγττGE边界条件：位移边界条件：,ρρsuusuu应力边界条件：ρρρsslσmτfρsslτmσf,uu为边界上已知位移ff,为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答0a0a0b0b00bad00badMdba0l000000ql弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答000018001800a0cossin0aaad0sincos0aaad00aaadM0xF0yF0OM取半径为a的半圆分析，由其平衡得：弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答FFF弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方程（相容方程）yxxyxyyx22222yfxfxyyxyx)1()(2222（平面应力情形）0)(2222yxyx0244224444yyxx弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答xfyxx22yfxyy22yxxy2应力函数表示：),(yx2.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：)(1112222（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：0)(112222（常体力情形）弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：22211221（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：01122222（常体力情形）弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：222yxxyarctancosxsinycosxxsinyysin2yxcos2xy),(弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答（2）应力分量与相容方程的坐标变换：xxxsincossincosρρyyycossincossinρρ应力分量的坐标变换sincosxρρcossinyρρ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答22xxx222222sincossincos22222sincossin2(a)sinsincoscossincosxρρcossinyρρ弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答22yyy22222coscossin2sin22222coscossin2(b)sincosxρρcossinyρρcoscossinsin弹性力学ELASTICITY4.平面问题的极坐标解答sincoscossincossinsincoscossin2