3平面问题的直角坐标解答(1)

弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。3.1逆解法与半逆解法多项式解答3.2矩形梁的纯弯曲3.3位移分量的求出3.4简支梁受均布载荷3.5楔形体受重力和液体压力主要内容3.6级数式解答弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多项式解答当体力为常量时，按应力求解平面问题，最后归结为求解一个应力函数F(x，y)，它必须满足下列条件：024422444yyxxFFF(2-25)()04F（1）相容方程（2）应力边界条件ysxysyxsxysxflmfml)()()()(（2-15）（3）多连体中的位移单值条件弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答求出应力函数F(x，y)，可求得应力分量：yfxyy22Fxfyxx22FyxxyF2(2-24)再求得变形分量和位移分量。由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式。因此，一般不能直接求解问题，只能采用逆解法或半逆解法。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答1.应力函数求解方法(,)xyF（1）逆解法（2）半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程的F(x，y)的形式；（2）——主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式，求出（具有待定系数）；xyyx,,（3）再利用应力边界条件，来考察这些应力函数F(x，y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数F(x，y)可以求解什么问题。逆解法弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；xyyx,,（2）根据与应力函数F(x，y)的关系及，求出F(x，y)的形式；xyyx,,40F（3）最后计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。xyyx,,——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答2多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数F(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法cbyaxyx),(F其中：a、b、c为待定系数。检验F(x,y)是否满足双调和方程：0244224444yyxxFFFF显然F(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）(a)一次多项式（2）弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答（3）对应的应力分量：02yxxyFxfyxx22Fxfxfxx0yfyfyy0yfxyy22F若体力：fx=fy=0，则有：0xyyx结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数F(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答(b)二次多项式（1）22cybxyaxF其中：a、b、c为待定系数。检验F(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）44444220,0,0xyxyFFF04F(可作为应力函数)弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答(假定：fx=fy=0;a0,b0,c0)（3）由式（2-24）计算应力分量：byxxyF2cyx222Faxy222F结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy2a2abxy2c2c弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答xy0试求图示板的应力函数。例：xy00xyyx0),(F202),(yyxF弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答(c)三次多项式（1）3223axbxycxydyF其中:a、b、c、d为待定系数。检验F(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）0,0,02244444yxyxFFF04F(可作为应力函数)(假定：fx=fy=0)（3）由式（2-24）计算应力分量：cybxyxxy222Fdycxyx6222Faxbyxy6222F结论3：三次多项式对应于线性应力分布。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答12h2hll讨论：,3dyF取)0(yxff可算得：0xydyx60yxydh3mindh3maxMM3dyF可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答(d)四次多项式（1）432234axbxycxydxyeyF检验F(x,y)是否满足双调和方程（2）4428cxyF4424axF4424eyF代入：40F得033eca024824eca其待定系数，须满足上述关系才能作为应函数弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答总结：（多项式应力函数F的性质）（1）多项式次数n4时，则系数可以任意选取，总可满足。40F多项式次数n≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。40F多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数F(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数F(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答3.2矩形梁的纯弯曲3,ayF取)0(yxff可算得：0xy6xσay0yxy图示梁对应的边界条件：:2hy0,0xyy:lx6,0xxyσayτ12h2hllmin3σahmax3σahMM弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答常数a与弯矩M的关系：220hhxdy(1)由梁端部的边界条件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhaydyM32ahM32()Mah或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。xy12h2hllmin3σahmax3σahMM弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答0xy6xσay0yxy12h2hllMMyIMxmin3σahmax3σah说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？xyyx,,xyyx,,问题：3.3位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？xyyx,,xyl1hMM弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答1.形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：()12/3hMyyIMx0xy0y平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)将式（a）代入得：IMyEyIMyEx10xy(b)xyl1hMM弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：0xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)(b)将式（c）前两式积分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：0)()(21xfyfxEIM)()(12yfxfxEIM整理得：（仅为x的函数）（仅为y的函数）IMyEyIMyEx10xy弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答)()(12yfxfxEIM要使上式成立，须有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：为常数。积分上式，得01)(uyyf220()2MfxxxvEI将上式代入式（d），得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)式中：u0、v0、由位移边界条件确定。弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答（1）讨论：常数00xEIMyuxx当x=x0=常数xEIMyu——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00xEIMyuxxyu0|xx说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。xyl1hMM弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答（2）常数EIMxv22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对x求二阶导数：0uyxyEIMu说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即EIMxv221——材料力学中挠曲线微分方程弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答2.位移边界条件的利用（1）两端简支其边界条件：000yxu000yxv将其代入(f)式，有0202vlEIMl00u00vEIMl200ylxv0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答EIMl2将其代回(f)式，有ylxEIMu)2(22)(2yEIMxxlEIMv梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20——与材力中结果相同弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答（2）悬臂梁边界条件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：0,000ylxylxvu（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答h/2h/2代入式（f），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMv弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答yxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMvh/2h/2挠曲线方程：20)(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy弹性力学ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答h/2h/2（b）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：0,000ylxylxvu（中点不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）弹性力学ELASTIC