5变形能与位移变分方程

弹性力学ELASTICITY5.1弹性体的应变能变分法：泛函：以函数为自变量的一类函数，即函数的函数。研究泛函及其极值的求解方法。)(xy称为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。弹性力学ELASTICITY弹性力学变分法的本质就是把弹性力学基本方程的定解问题，变为求泛函的极值问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又变成函数的极值问题，因此，最后把问题归结为求解线性代数方程组。弹性力学变分法中研究的泛函就是弹性体的能量（应变能、外力势能等）。弹性力学中的变分法又称能量法。能量法是有限单元法的重要基础。弹性力学ELASTICITY弹性体受外力作用后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。卸载后，这种能量又随变形的消失而全部转换为其他形式的能量。这种随弹性变形的增减而改变的能量称为应变能。Ve=W弹性体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。——功能原理应变能：弹性力学ELASTICITY应变能密度：单位体积的应变能。设弹性体只在某一方向，如x方向，受均匀的正应力sx，相应的线应变为ex，则其单位体积内具有的应变能，即应变能密度为exsxU1exdex101d2xxxxxUesesesx应变能密度是以应变分量为自变量的泛函。弹性力学ELASTICITY在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量sx、sy、sz、tyz、tzx、txy。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及变形的最终大小。弹性体的应变能密度112xxyyzzyzyzzxzxxyxyUsesesettt应变能密度是以应变分量为自变量的泛函，利用物理方程，弹性体的应变能密度表示为22222221121122xyzyzzxxyEUeee体应变：xyzeee弹性力学ELASTICITY对应变分量求导，得22222221121122xyzyzzxxyEUeee12112xxxxUEGeese1yyUse1zzUse1yzyzyzUGt1zxzxUt1xyxyUt弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率就等于相应的应力分量。拉梅常数：112E弹性力学ELASTICITY弹性体的应变能等于应变能密度在整个弹性体的体积内的积分1ddd2xxyyzzyzyzzxzxxyxyUxyzsesesettt22222221ddd21122xyzyzzxxyEUxyzeee1dddUUxyz112xxyyzzyzyzzxzxxyxyUsesesettt22222221121122xyzyzzxxyEUeee弹性力学ELASTICITY22222221ddd21122xyzyzzxxyEUxyzeee22222222(1)12111ddd222EuvwuvwUxyzxyzwvuwvuxyzyzzxxy将几何方程代入，应变能用位移分量表示为弹性力学ELASTICITY平面问题sz=0（平面应力）或ez=0（平面应变），zx=yz=01dd2xxyyxyxyUxyseset222212dd221xyxyxyEUxyeeee112xxyyxyxyUseset222212ddd2(1)2EuvuvvuUxyzxyxyxy应变能用位移分量表示为弹性力学ELASTICITY5.2位移变分方程1.变分及其性质微分是变量的增量，变分是函数的增量，通常用表示。变分具有以下的性质：δ()δδδδδdδduwuwuuxxuSuS弹性力学ELASTICITY设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u、v、w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。假设位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变（虚位移）u、v、w，则外力在虚位移上作虚功和应变能泛函的增加相等，即δδδδdddδδδdxyzxyzUfufvfwxyzfufvfwS——位移变分方程或拉格朗日变分方程。2.位移变分方程利用变分的性质1δδdddUUxyze1δdddUxyz弹性力学ELASTICITY应变能密度视为应变分量的函数1δδdddUUxyz111111δδδδδδdddxyzxyzyzzxxyyzzxxyUUUUUUxyzeeeeeeδδδδδδdddxxyyzzyzyzzxzxxyxyxyzsesesettt弹性力学ELASTICITYδδδδdddδδδdxyzxyzUfufvfwxyzfufvfwSδδδδδδδdddxxyyzzyzyzzxzxxyxyUxyzsesesetttδδδdddδδδdδδδδδδdddxyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfwxyzfufvfwSxyzsesesettt——虚功方程。即：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在相应的虚应变上所做的虚功。弹性力学ELASTICITYδδδδdddδδδdxyzxyzUfufvfwxyzfufvfwS3.最小势能原理由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中，外力的大小和方向可以视为保持不变，只是作用点有了改变。利用变分的性质，位移变分方程可改写为：δδδδdddδδδdxyzxyzUfufvfwxyzfufvfwSδdddδdxyzxyzfufvfwxyzfufvfwSδddddxyzxyzfufvfwxyzfufvfwSδδdddd0xyzxyzUfufvfwxyzfufvfwS弹性力学ELASTICITYδδdddd0xyzxyzUfufvfwxyzfufvfwSδdddd0xyzxyzUfufvfwxyzfufvfwS取u=v=w=0时的自然状态下的势能为零，外力的势能为ddddxyzxyzVfufvfwxyzfufvfwSδ0UV即：应变能U与外力势能V的总和的变分为零。意义：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能为最小，即最小势能原理。弹性力学ELASTICITY实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足位移表示的平衡方程和应力边界条件。能量原理与变分法中，实际存在的位移，除了满足位移边界条件外，还满足位移变分方程。而且，可以从位移变分方程导出用位移表示的平衡微分方程和应力边界条件。位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。