6有限单元法

弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题有限单元法在工程设计和研究中得到了广泛应用。对于许多实际的弹性力学问题，由于荷载及边界条件较为复杂，难以求出函数式的解答，常采用近似的数值解法。有限单元法是20世纪中期随着电子计算机的广泛应用而发展起来的又一种数值解法。有限单元法的优点：（1）可以分析形状十分复杂的、非均质的各种实际的工程结构；（2）可在计算中模拟各种复杂材料的本构关系、荷载和条件；（3）可进行结构的动力分析；（4）可进行大量方案的比较分析，并迅速用图形表示计算结果，有利于对工程方案进行优化。弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题体力Txxyyfffff面力6.1基本量和基本方程的矩阵表示应力()Txyxyσστσ应变Txyxyεεγε()xTxyyfffff位移Tuuvvd1.基本量的矩阵表示弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题2101011002μEμμμDσDε几何方程Tuvvuxyxyε物理方程2101011002xxyyxyxyσμεEσμεμμγτ2.几个基本方程的矩阵表示平面应变问题21EEμ1μμμ弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题虚功方程:在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。σTTTAsAdxdytdstdxdyt***dfdfεσTxyxyεεγ*εTuv*d用等效结点力表示的虚功方程Tiijjuvuv*δTixiyjxjyFFFFFTTAdxdyt**δFεσ虚功TixiiyijxjjyjFuFvFuFv*δFxyiiixuF,jiiyvF,jjxuF,jjyvF,虚位移虚应变弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构分析方法，其分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。有限单元法的分析过程，主要包括：结构的离散化、单元分析和整体分析三个基本步骤。1.离散化：在一个连续介质中，互相连续的点是无限的，具有无限个自由度，使数值解法难以进行。结构的离散化，就是把连续介质划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，把相邻单元体在结点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的连续介质，这样一组单元只在有限个结点上相互连接，因而只包含有限个自由度，可用矩阵方法进行分析。6.2有限单元法的概念弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题124635水坝弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题平面问题中，最简单而常用的单元是三角形单元，此外也常采用矩形单元和任意四边形单元。弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题平面问题中，所有简单一般都为铰结，也可作为刚接。三结点三角形单元：在三角形的三个顶点设置结点。六结点三角形单元：在三角形的三个顶点和三边中点设置结点。在约束边界处，可根据约束情况在该处的结点上设置铰支座或连杆支座。单元结点力：结点对单元的作用力。对于三角形单元，结点力列阵ijmFix,uiFiy,viFjy,vjFjx,ujFmx,umFmy,vmyxOTeijmTixiyjxjymxmyFFFFFFFFFF弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题结点位移，基本未知量。对于三角形单元，结点位移列阵ijmFix,uiFiy,viFjy,vjFjx,ujFmx,umFmy,vmyxOTeijmTiijjmmuvuvuv2.单元分析：位移模式：eux,yvx,yd=N其中N称为形函数矩阵。单元应变：（应用几何方程）e=B其中B表示和e之间的关系矩阵。弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题单元应力：（应用物理方程）e=S其中S称为应力转换矩阵。单元结点力的应力表示：（应用虚功方程）eeF=k其中k称为单元劲度（刚度）矩阵。单元的结点荷载：（应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置）TeLLiLjLmTLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFF=FFF弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题3.整体分析：i结点受结点荷载FLi=(FLixFLiy)T和结点力Fi=(FixFiy)T,其平衡方程为,(1,2,)iLieeinFFeeF=k将代入整理可得LK=F其中K称为整体劲度（刚度）矩阵，FL为整体结点荷载列阵，是整体结点位移列阵。K由每个单元的劲度矩阵集合而成，FL由作用于每个单元的结点荷载列阵集合而成。求出整体结点位移列阵，可由和分别求出单元中的位移d和应力。ed=Ne=S弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题单元结点编码按逆时针顺序排序(,,)iiiuijkvδTeiijjmmuvuvuvδ单元结点位移向量6.3单元的位移模式与解答的收敛性1.单元的节点位移和结点力ijmFix,uiFiy,viFjy,vjFjx,ujFmx,umFmy,vmyxO单元结点力向量TeixiyjxjymxmyFFFFFFF弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题代入上式,得三结点三角形单元中，假定单元内位移为坐标的线性函数，即mmmjjjiiiuyxuuyxuuyxu),(),(),(在单元结点处有mmmjjjiiiyxuyxuyxu3213213212.单元位移模式ijmFix,uiFiy,viFjy,vjFjx,ujFmx,umFmy,vmyxO弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题)(21)(21)(21321mmjjiimmjjiimmjjiiucucucAubububAuauauaA其中解方程,得ijmmjijmimjaxyxybyycxx123(,)111()()()222iijjmmiijjmmiijjmmuxyααxαyauauaubububuxcucucuyAAAiijjmmNuNuNu其中),,()(21mjiycxbaANiiii111()()()222iiiijjjjmmmmabxcyuabxcyuabxcyuAAA弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题同理mmjjiivNvNvNyxv),(000000eiiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuvdeNN---形函数矩阵),(yxNi---形函数ijm①.0),(),(;1),(mmijjiiiiyxNyxNyxN②.ijdsyxNAdxdyyxNijiAi21),(3),(3.形函数的性质1弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题随着单元的越划越小,解答趋于精确解.---收敛为了保证收敛,所设位移应满足如下条件:位移模式应包含刚体位移。①.应保证相邻单元的位移协调。②.条件1、2是收敛的必要条件.条件1、2、3是收敛的充分条件.4.解答的收敛性③.位移模式应包含常应变状态。弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题常应变三角形单元是完备协调单元三角形单元5362xyyx包含刚体位移常量应变ijm21p单元间的位移是协调的弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题由几何方程得eB其中BmjimjiNNNNNNxyyx000000///00/单元应变矩阵6.4单元的应变列阵和应力列阵1.单元的应变0000xeyxyuxxxεuvεvyyyγvuxyyxyxN弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题ijmBBB其中/000/0//iiixNyNyxBiiiiiiiibccbAxNyNyNxN0021///00/常数矩阵单元内应变为常数三结点三角形单元为常应变单元00010002ijmijmiijjmmbbbcccAcbcbcbB弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题σD由物理方程其中应力转换矩阵eDBeSSDBijmDBBBijmSSS对于平面应力问题210011001200(1)/2iiiiiμbEμcμAμcbS22(1)(1)/2(1)/2iiiiiibμcEμbcAμμcμb2.单元的应力弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题对于平面应力问题210011001200(1)/2iiiiiμbEμcμAμcbS22(1)(1)/2(1)/2iiiiiibμcEμbcAμμcμb对于平面应变问题112EE三结点三角形单元中，线性位移模式的误差量级是Dx或Dy的二阶小量，应力和应变的误差量级是Dx或Dy的一阶小量，应力的精度低于位移的精度，在划分单元和整理成果时应该加以注意。提高有限单元法分析精度的方法：（1）减小单元尺寸（2）采用更高次项的位移模式弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题设单元结点发生虚位移e单元内任一点虚位移为edNδ虚应变为eB虚功方程TTeeeeAdxdytFBδDBδ---单元劲度矩阵6.5单元劲度矩阵)TeeTAdxdytFeDBeTeAdxdytFBDBTeTeAdxdytBDB令TAdxdytkBDB---单元劲度方程弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题TiTjijmTmtABBDBBBBiiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkTrsrstAkBDB常应变三角形单元TTAdxdyttAkBDBBDB平面应力问题srsrsrsrsrsrsrsrbbcccbbcbccbccbbAEt2)1(2)1(2)1(2)1()1(42弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题单元劲度矩阵的性质：（1）单元劲度矩阵只与单元的几何形状、大小及材料的性质有关，特别与位移模式有关；与单元位移无关。（2）单元劲度矩阵是对称矩阵。（3）的物理意义：使j结点发生单位位移，而其余结点完全约束时，在结点i产生的结点力ijk（4）单元劲度矩阵是奇异矩阵。给定结点位移，可确定结点力；给定结点力，不能唯一确定结点位移。0iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk弹性力学ELASTICITY6.用有限单元法解平面问题设M点(x,y)受集中荷载fP结点虚位移为6.6荷载向结点移置TPxP