线性回归分析练习题

§1回归分析一、基础过关1．下列变量之间的关系是函数关系的是()A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩施用肥料量和粮食产量2．在以下四个散点图中，其中适用于作线性回归的散点图为()A．①②B．①③C．②③D．③④3．下列变量中，属于负相关的是()A．收入增加，储蓄额增加B．产量增加，生产费用增加C．收入增加，支出增加D．价格下降，消费增加4．已知对一组观察值(xi，yi)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则线性回归方程为A．y＝0.51x＋6.65B．y＝6.65x＋0.51C．y＝0.51x＋42.30D．y＝42.30x＋0.515．对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关D．样本相关系数r∈(－1,1)6．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过()A.点(2,3)B．点(1.5,4)C．点(2.5,4)D．点(2.5,5)7．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________.二、能力提升8．若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的线性回归方程为y＝250＋4x，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为________kg.9．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：零件的个数x/个2345加工的时间y/小时2.5344.5若加工时间y与零件个数x之间有较好的相关关系．(1)求加工时间与零件个数的线性回归方程；(2)试预报加工10个零件需要的时间．x1234y135710．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：组别12345价格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知∑5i＝1xiyi＝62，∑5i＝1x2i＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t)．11．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数x3033353739444650成绩y3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验；(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．答案1．A2.B3.D4.A5.D6.C7．08.y＝－11.3＋36.95x9．45010．解(1)由表中数据，利用科学计算器得x＝2＋3＋4＋54＝3.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i＝1xiyi＝52.5，∑4i＝1x2i＝54，b＝∑4i＝1xiyi－4xy∑4i＝1x2i－4x2＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7，a＝y－bx＝1.05，因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋1.05.(2)将x＝10代入线性回归方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．11．解(1)散点图如下图所示：(2)因为x＝15×9＝1.8，y＝15×37＝7.4，∑5i＝1xiyi＝62，∑5i＝1x2i＝16.6，所以b＝∑5i＝1xiyi－5xy∑5i＝1x2i－5x2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a＝y－bx＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，故y对x的线性回归方程为y＝28.1－11.5x.(3)y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25t.12．解(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：次数xi成绩yix2iy2ixiyi30309009009003334108911561122353712251369129537391369152114433942152117641638444619362116202446482116230422085051250026012550由上表可求得x＝39.25，y＝40.875，∑8i＝1x2i＝12656，∑8i＝1y2i＝13731，∑8i＝1xiyi＝13180，∴b＝∑8i＝1xiyi－8xy∑8i＝1x2i－8x2≈1.0415，a＝y－bx＝－0.00388，∴线性回归方程为y＝1.0415x－0.00388.(3)计算相关系数r＝0.9927，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y＝1.0415x－0.00388作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y＝49和y＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.13．解∵sx＝lxyn，sy＝lxyn，∴lxyn＝rlxyn·lyyn＝0.5×7.6×15.2＝57.76.∴β1＝lxynlxyn＝57.767.62＝1，β0＝y－β1x＝72－1×172＝－100.故由身高估计平均体重的回归方程为y＝x－100.由x，y位置的对称性，得b＝lxynlxyn＝57.7615.22＝0.25，∴a＝x－by＝172－0.25×72＝154.故由体重估计平均身高的回归方程为x＝0.25y＋154.1.3可线性化的回归分析一、基础过关1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是()A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－2002．在线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b表示()A．当x＝0时，y的平均值B．x变动一个单位时，y的实际变动量C．y变动一个单位时，x的平均变动量D．x变动一个单位时，y的平均变动量3．对于指数曲线y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为()A．u＝c＋bxB．u＝b＋cxC．y＝b＋cxD．y＝c＋bx4．下列说法错误的是()A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决5．每一吨铸铁成本yc(元)与铸件废品率x%建立的回归方程yc＝56＋8x，下列说法正确的是()A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元6．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合二、能力提升7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.下列哪个方程可以较恰当的拟合()A．y＝0.7711x＋26.528B．y＝36.958lnx－74.604C．y＝1.1778x1.0145D．y＝20.924e0.0193x8．已知x，y之间的一组数据如下表：x1.081.121.191.25y2.252.372.432.55则y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必过点________．9．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521（1）建立y与x之间的回归方程．（2）当8x时，y大约是多少11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：年次x123456利润总额y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：y＝abxe0.其中a、b均为正数，求y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)三、探究与拓展12．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：x9.511.513.515.517.5y64.643.22.8x19.521.523.525.527.5y2.52.42.32.22.1散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋bx.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．答案1．A2.D3.A4.A5.C6.A7.B8．(1.16,2.4)9.11.6910．解画出散点图如图(1)所示，观察可知y与x近似是反比例函数关系．设y＝kx(k≠0)，令t＝1x，则y＝kt.可得到y关于t的数据如下表：t4210.50.25y1612521画出散点图如图(2)所示，观察可知t和y有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：b＝∑5i＝1tiyi－5ty∑5i＝1t2i－5t2≈4.1344，a＝y－bt≈0.7917，所以y＝4.1344t＋0.7917，所以y与x的回归方程是y＝4.1344x＋0.7917.11．解对y＝abxe0两边取对数，得lny＝lnae0＋xlnb，令z＝lny，则z与x的数据如下表：x123456z2.432.472.522.572.612.67由z＝lnae0＋xlnb及最小二乘法公式，得lnb≈0.0477，lnae0≈2.38，即z＝2.38＋0.0477x，所以y＝10.8×1.05x.12．解设u＝1x，则y≈a＋bu，得下表数据：u0.10530.08700.07410.06450.0571y64.643.22.8u0.05130.04650.04260.03920.0364y2.52.42.32.22.1进而可得n＝10，u≈0.0604，y＝3.21，i＝110u2i－10u2≈0.0045573，i＝110uiyi－10uy≈0.25635，b≈0.256350.0045573≈56.25，a＝y－b·u≈－0.1875，所求的回归方程为y＝－0.1875＋56.25x.当x＝30时，y＝1.6875，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.6875%.