数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案

1第一章绪论1．设0x,x的相对误差为，求lnx的误差。解：近似值*x的相对误差为*****rexxexx=而lnx的误差为1ln*ln*ln**exxxex进而有(ln*)x2．设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。解：设()nfxx，则函数的条件数为'()||()pxfxCfx又1'()nfxnx,1||npxnxCnn又((*))(*)rprxnCx且(*)rex为2((*))0.02nrxn3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*11.1021x,*20.031x,*3385.6x,*456.430x,*571.0.x解：*11.1021x是五位有效数字；*20.031x是二位有效数字；*3385.6x是四位有效数字；*456.430x是五位有效数字；*571.0.x是二位有效数字。4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)***124xxx,(2)***123xxx,(3)**24/xx.其中****1234,,,xxxx均为第3题所给的数。解：2*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102xxxxx***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510xxxxxx***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215xxxxxxxxxxxx**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010xxxxxxx5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343VR则何种函数的条件数为23'4343pRVRRCVR(*)(*)3(*)rprrVCRR又(*)1rV3故度量半径R时允许的相对误差限为1(*)10.333rR6．设028Y，按递推公式11783100nnYY（n=1,2,…）计算到100Y。若取78327.982（5位有效数字），试问计算100Y将有多大误差？解：11783100nnYY100991783100YY99981783100YY98971783100YY……101783100YY依次代入后，有10001100783100YY即1000783YY，若取78327.982,100027.982YY*310001()()(27.982)102YY100Y的误差限为31102。7．求方程25610xx的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982）。解：25610xx，故方程的根应为1,228783x故1287832827.98255.982x1x具有5位有效数字2111287830.0178632827.98255.98228783x2x具有5位有效数字8．当N充分大时，怎样求1211NNdxx？4解121arctan(1)arctan1NNdxNNx设arctan(1),arctanNN。则tan1,tan.NN12211arctan(tan())tantanarctan1tantan1arctan1(1)1arctan1NNdxxNNNNNN9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm？解：正方形的面积函数为2()Axx(*)2*(*)AAx.当*100x时，若(*)1A,则21(*)102x故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过21cm10．设212Sgt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：21,02Sgtt2(*)(*)Sgtt当*t增加时，*S的绝对误差增加2*2*(*)(*)*(*)1()2(*)2rSSSgttgttt5当*t增加时，(*)t保持不变，则*S的相对误差减少。11．序列ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,…),若021.41y（三位有效数字），计算到10y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：021.41y201(*)102y又1101nnyy10101yy10(*)10(*)yy又21101yy21(*)10(*)yy220(*)10(*)......yy101001028(*)10(*)1101021102yy计算到10y时误差为81102，这个计算过程不稳定。12．计算6(21)f，取2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？61(21),3(322),31(322)，99702。解：设6(1)yx，若2x，*1.4x，则*11102x。若通过61(21)计算y值，则6***7***7**1(1)6(1)yxxyxxyx若通过3(322)计算y值，则**2******(32)632yxxyxxyx若通过31(322)计算y值，则***4***7**1(32)1(32)yxxyxxyx通过31(322)计算后得到的结果最好。13．2()ln(1)fxxx,求(30)f的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。22ln(1)ln(1)xxxx计算，求对数时误差有多大？解2()ln(1)fxxx,(30)ln(30899)f设899,(30)uyf则*u*412u故7****310.0167yuuu若改用等价公式22ln(1)ln(1)xxxx则(30)ln(30899)f此时，****7159.9833yuuu第二章插值法1．当1,1,2x时，()0,3,4fx,求()fx的二次插值多项式。解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3xxxfxfxfxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxx则二次拉格朗日插值多项式为220()()kkkLxylx0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623lxlxxxxxxx2．给出()lnfxx的数值表8X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144xxxxxfxfxfxfxfx若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f，则0.50.540.62112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()xxlxxxxxxlxxxxLxfxlxfxlx6.93147(0.6)5.10826(0.5)xx1(0.54)0.62021860.620219L若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()xxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxLxfxlxfxlxfxlx500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)xxxxxx2(0.54)0.615319840.615320L3．给全cos,090xx的函数表，步长1(1/60),h若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。9当090x时，令()cosfxx取0110,()606018010800xh令0,0,1,...,5400ixxihi则5400902x当1,kkxxx时，线性插值多项式为11111()()()kkkkkkkkxxxxLxfxfxxxxx插值余项为111()cos()()()()2kkRxxLxfxxxx又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cos0,1x，故计算中有误差传播过程。*5**112111*1111*1*1(())102()(())(())(())()1(())()(())kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkfxxxxxRxfxfxxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxhfx总误差界为1012*1*12*855()()1(cos)()()(())21()()(())211()(())2211.06101020.5010610kkkkkkkRRxRxxxxxfxxxxxfxhfx4．设为互异节点，求证：（1）0()nkkjjjxlxx(0,1,,);kn（2）0()()0nkjjjxxlx(0,1,,);kn证明（1）令()kfxx若插值节点为,0,1,,jxjn，则函数()fx的n次插值多项式为0()()nknjjjLxxlx。插值余项为(1)1()()()()()(1)!nnnnfRxfxLxxn又,kn(1)()0()0nnfRx0()nkkjjjxlxx(0,1,,);kn00000(2)()()(())()()(())nkjjjnnjikikjjjinnikiikjjijxxlxCxxlxCxxlx