二维抛物方程的九点差分格式的研究---论文完整版

本科毕业论文论文题目：二维抛物方程的九点差分格式的研究学生姓名：赵月学号：200900820130专业：信息与计算科学指导教师：吴亭亭学院：数学科学学院12013年5月20日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题目二维抛物方程的九点差分格式的研究选题时间2012.11.25完成时间2013.5.20论文（设计）字数3970关键词二维抛物方程，五点差分格式，九点差分格式，数值验证论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源：在大学所学的课程中，我对抛物方程与九点差分格式有过比较详细比较系统的学习，通过与老师交流我觉得这个题目既有理论分析又有上机编程实验，能过体现我们信计专业的教学内容及特色，因此在指导老师的指导下确定了这一题目。理论：五点差分格式、九点差分格式实践意义：对于一般的二维抛物方程，原坐标轴逆时针旋转45度后，在此坐标平面建立五点差分格式，将此五点差分格式与经典的五点差分格式进行加权相加，即得抛物方程的九点差分格式。此方法跟更为灵活，画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，可体现出偏微分方程的有关内容在解决问题时的优越性。论文（设计）的主要内容及创新点主要内容：对于一般的二维抛物方程，原坐标轴逆时针旋转45度后，在此坐标平面建立五点差分格式，将此五点差分格式与经典的五点差分格式进行加权相加，即得抛物方程的九点差分格式。此方法跟更为灵活，且九点差分格式相比五点差分格式误差更小。画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，可体现出偏微分方程的有关内容在解决问题时的优越性。创新点：对于同一个二维抛物方程在同一个坐标平面内求出五点差分格式与九点差分格式，分析误差、稳定性、收敛阶、精度，是本文的创新点。附：论文（设计）本人签名：年月日目录中文摘要...................................................................................................错误!未定义书签。英文摘要...................................................................................................错误!未定义书签。第一章引言............................................................................................................................1第二章基础知识....................................................................................................................2第三章二维抛物方程的九点差分格式及其稳定性分析....................................................33.1经典的五点差分格式.................................................................................................33.2旋转坐标轴后二维抛物方程的五点差分格式.........................................................53.3二维抛物方程的九点差分格式.................................................................................63.4九点差分格式的稳定性.............................................................................................7第四章二维抛物方程的九点差分格式的matlab算法实现...............................................8第五章数值实验验证............................................................................................................9第六章总结..........................................................................................................................12参考文献................................................................................................................................13附录........................................................................................................................................14I二维抛物方程的九点差分格式的研究赵月摘要：对于二维抛物方程，在原坐标平面内建立经典五点差分格式，坐标轴逆时针旋转45度后，再建立五点差分格式，并通过将其与经典的五点差分格式进行加权平均，建立了抛物方程的九点差分格式。并且，分析了九点差分格式的稳定性。与经典的五点差分格式相比，在一定条件下，此方法误差较小，对稳定性的要求未变。最后，我们给出了数值算例，误差图像，画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，验证了九点差分格式的有效性。关键字：二维抛物方程;九点差分格式;五点差分格式;数值实验IIResearchontwo-dimensionalparabolicequations’nine-pointfinitedifferencemethodZhaoYueAbstract：Forthetwo-dimensionalparabolicequation，weestablishitsclassicfive-pointfinitedifferencemethodintheoriginalcoordinateplaneandthenestablishanewfive-pointfinitedifferencemethodwhenrotatingtheoriginalcoordinateplaneof45degrees.Basedonthetwofive-pointfinitedifferencemethod,weformulateanewnine-pointfinitedifferencemethodbyaweighedaveragemethod.Also,weanalysesthisfinitedifferencemethod’sstability.Comparedwiththeclassicfive-pointfinitedifferencemethod,thisnewmethodhasthesamerequirementaboutstabilitybutsmallererrorongivencircumstances.Finally,anumericalexperimentisgivenandfiguresfortheerrorarealsopresent.Itismoreflexibletodiffertheexactsolution’sfigureandthenewmethod’sfigureaswellastoprovethenewmethod’seffectivenessafterthefiguresaregiven.Keywords:thetwo-dimensionalparabolicequation,anine-pointfinitedifferencemethod,afive-pointfinitedifferencemethod,numericalexperiment.1第一章引言差分法是把构件划分为许多单元，通过把连续体离散为互有联系的有限数量单元的数值求解。有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。有限差分法的基本思想是：按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格节点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可得到原方程组在离散点上的近似解然后再利用插值法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式代替，从而把求解偏微分方程的问题转化为求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤是：1.区域离散化，即把所给求解区域分成有限个格点组成的网格；2.近似代替，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；3.逼近求解，即用一个插值多项式及其微分代替偏微分方程的解。随着科学技术的发展，工程、数学、计算机的结合表现的愈来愈广泛且愈来愈深刻。九点差分格式是有限差分法中的一部分，可用于解决偏微分方程中的一些问题，譬如，椭圆方程、抛物方程，双曲方程等，且九点差分格式相比于经典的五点差分格式可减小误差。整体思想采用构建问题——解决问题——计算机编程进一步分析的线路，所得结果可进一步应用于水利科技、工程力学、工程结构、建筑材料等方面。通过计算机编程可进一步分析出差分格式的优劣，以及通过所构造的差分格式得出的实验解与精确解之间的差异，可使结果更加生动形象。2第二章基础知识步长：将区间,ab分成N等分，分点为*ixaih，i=0,1,2,...,N，h=(b-a)/N，于是我们得到区间,ab的一个网格剖分。ix称为网格节点，h称为步长。正则内点：xy平面上的一有界区域G，其边界为分段光滑曲线，取定沿x轴和y轴的步长1h和2h，做两族与坐标轴平行的直线:12*,0,1,,*,0,1,,xihiyjhj两族直线的交点12(*,*)ihjh称为网点或节点，记为(,)ijxy或（i,j)。说两个节点(,)ijxy和''(,)ijxy是相邻的，如果''121jijiyyxxhh或''1iijj。以(,)hijGxyG表示所有属于G内部的节点集合，并称如此的节点为内点，以h表示网线ixx或jyy与的交点集合，并称如此的点为界点。若内点(,)ijxy的四个相邻点都属于hG，就称为正则内点，否则称为非正则内点。Taylor展开式：一般函数f，设它在0x存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式'''()20000000()()()()()()()()1!2!!nnnfxfxfxTxfxxxxxxxn，称为函数f在点0x出的泰勒多项式，一般余项可写为0()(())nnRxOxx，这里的0xx即为步长h。第一边值条件：G是xy平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线，在上u满3足边值条件：|(,)uxy，(,)xy是连续函数。第三章二维抛物方程的九点差分格式及其稳定性分析3.1经典的五点差分格式考虑二维抛物方程：2222  (,),0uuuafxytTxxy（1.1)其中a是正常数，f(x,y)是给定的连续函数。具有所需次数偏微商的函数(,,)uxyt满足方程（1.1）（0xl，0yl）和