数列通项公式的求法课件

等差数列的通项公式：等比数列的通项公式：1(1)naand11nnqaa1、观察法观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数n的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。例1写出下列数列的一个通项公式（1）-1，4，-9，16，-25，36，……；解：（如果数列是正负相间的，把相应的关于的式子乘以或就可以了）（2）2，3，5，9，17，33，……；解：na121nna21nannn111nn2、累加法若数列,满足其中是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求，适用于差为特殊数列的数列。}{na))((1Nnnfaann)(nfna例2已知数列,满足，求数列的通项公式。121naann11a}{na}{na121naann211223211133212)()(nnnaaaaaaaaaannnnn）（）（解：由得则121naann所以数列的通项公式}{na2nan3、累乘法若数列,满足其中数列前n项积可求，则通项可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。))((1Nnnfaann}{na)}({nfna例3、已知，,求通项公式31annnaa21na解：112nnnaannnaa211122aa2232aa，，，……即2)1()1(321122nnnnaa2)1(23nnna3342aa13213423122222nnnaaaaaaaa4、利用数列前项和求通项公式：数列前项和与之间有如下关系：n.,)2(111nnnnnaSnSSaSa求由此即可由nnSnSnna))(1(31*NnaSnn}{na2a1a例4、设数列的前项的和（1）、求；（2）、求证数列为等比数列。}{na)1(31)1(311)2(11nnnnnaaSSan时，、当)1(31nnaS解(1)、由，得)1(3111aa41),1(31)1(31212221221aaaaaSa得，即，又211nnaa得的等比数列，公比为是首项所以2121}{na变式题、已知数列的前项和求证：为等比数列并求通项公式。}{nan12nnaS}{na1121111aaSa解：11221nnna1212111nnnnnaaSSannaa21即的等比数列，公比为为首项即21}{na5、构造等差、等比数列法对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。（1）构造等差列法pqaaqappaannnnn1111则若例5、已知数列中，，（1）、求证是等差数列（2）、求的通项公式221nnnaaa}{na}{na11a}1{na解：22)1(1nnnaaa、21111nnaannnnaaaa22111221nnaa首项为1，公差为的等差数列}1{na212121)1(11)2(nnan、12nan即变式题：已知数列{an}中，a1=1,an+1+3an+1an-an=0,求数列{an}的通项公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa解：1113naa是以为首项，以为公差的等差数列111(1)31(1)332nnaann132nan（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法设an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,与题设an+1=can+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddacacc1ndac11dac11()11nnddaaccc11()11nnddaaccc即：（构造法或待定系数法）6.辅助数列法方法2：1,nnacad当2时1,,nnnacad两式相减，得：11()nnnnaacaa11nnnnaacaa2数列是以为首项，以为公比的等比数列11{}nnaaaac212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnnaaaacaaaacaaaaccaaaacaaaa=（1211)1ncaac方法四：归纳、猜想、证明.1.先计算出a1,a2,a3;2.再猜想出通项an;3.最后用数学归纳法证明.1,nnacad2122()(1)nnnnacadccaddcadc=323(1)ncadcc=1221(1)nncadccc=1()11nddaccc方法三：迭代法由递推式直接迭代得例6:已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（a1+3）×2n-1故an=6×2n-1-3解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时，an=2an-1+3，两式相减，得：an+1-an=2(an-an-1).故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列.an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1)2*110(),,6263.23nnnaxaxnNa变式题：设二次方程有两根满足求证：是等比数列。n+1+=1nnaaa证：依题意，由韦达定理可知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa是以为公比的等比数列例7.已知，111,1nnanana求数列{an}的通项公式.解：11,nnanan11,nnanan（1）11(1),nnana又11a即110a10na由得：，11(1)1nnana故由累乘法，得：1321122111111(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa1(1)!(1)1nana1(1)(2)(3)21(1)nnna7.逐差法形如an+1+an=f(n)的数列.（1）若an+1+an=d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an+1-an=f(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项.例8.数列{an}满足a1=0,an+1+an=2n,求数列{an}的通项公式.分析1.构造转化为型1()nnaafn解法1：令(1)nnnba则111111(1)(1)(1)()(1)2nnnnnnnnnnbbaaaan时111222111(1)2(1)(1)2(2)2,(1)210nnnnnnbbnbbnnbbba1322(1)(1)(1)(2)(1)2(1)1nnnbnn各式相加得：当为偶数时，22(1)(1)2nnnbnn此时，nnabn当为奇数时，12()12nnnbn此时，nnba1nan为奇数故为偶数1,,,.nnnann解法2：12nnaan当2时1,2(1)nnnaan两式相减，得：112nnaa构成以为首项，以2为公差的等差数列1351,,,,aaaa211(1)22kaakdk22(1)2kaakdk为奇数为偶数1,,,.nnnann.2462构成以为首项，以2为公差的等差数列,,,,aaaa课时小结这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法，大家需要注意以下几点:1、若数列满足可用累加法来求通项公式；若数列满足可用累乘法来求通项公式;若数列满足可用构造等差数列来求通项公式；若数列满足，可用构造等比数列来求通项公式；若数列已知前项和的关系可用))((1Nnnfaann}{nana}{na))((1NnnfaannnS}{na}{nannnqappaa1qpaann1}{nan.1,)2(2111要单独讨论时注意求由、用naSnSSaSannnnn)2(111nSSaSannn课后作业nnnanaaa求，、已知,21)1(11式并证明写出这个数列的通项公，中，、已知数列)(,211}{)2(*11Nnaaaaannnnnnnnanaaaa求满足、已知数列,52212121}{)3(221.}{,,3,2,1,S311Sn}{)4(432n11n的通项公式的值及数列求，，且项和为的前、数列nnnaaaanaaa111,,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasnsanNabaabacc(5)、数列中是它的前和并且满足设求证是等比数列设求证数列是等差数列11(6)3,2(2)..nnnnnnnaaansassna、已知数列的首项通项与前项和之间满足求数列的通项公式补充：一、形如)(1nfaann型（1）若paann1(p为常数)，则数列{na}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1nfaann，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1.已知数列满足}{na)(,)21(,3*11Nnaaannn,求此数列的通项公式.提示：同前面的例8二、形如)(1nfpaann型(1)若bknnf)((其中k,b是常数，且0k)方法：相减法例2.在数列}{na中，,23,111naaann求通项na.解：,231naann①2n时，)1(231naann，两式相减得2)(311nnnnaaaa.令nnnaab1,则231nnbb利用待定系数法知2351nnb即13511nnnaa②再由累加法可得213251nann.亦可联立①②解出213251nann.(2)若nqnf)((其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可.②若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1np.即：nn