1.2-综合法与分析法-课件(北师大选修2-2)

第三章：推理与证明综合法与分析法徐继坤阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝222＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用什么公式？问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．提示：基本不等式．综合法(1)含义：从命题的出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过推理，一步一步地接近要证明的，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：其中P为条件，Q为结论．条件演绎结论P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→……→Qn⇒Q问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题证明可以借鉴吗？提示：可以．[例1]已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.[思路点拨]由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]法一：∵a，b为正数，且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.法二：∵a，b为正数，∴a＋b≥2ab＞0，1a＋1b≥21ab＞0，∴(a＋b)(1a＋1b)≥4，又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.法三：∵a，b为正数，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．[一点通]从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找每一步的必要条件，如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键．1．在△ABC中，ACAB＝cosBcosC，证明B＝C.证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sinBsinC＝cosBcosC.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－πB－Cπ，从而B－C＝0，所以B＝C.2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA＝PB＝PC.求证：PO⊥平面ABC.证明：连接OC，如图所示，∵AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点，∴OA＝OB＝OC.又∵PA＝PB＝PC，∴PO⊥AB，且△POA≌△POC，∴∠POA＝∠POC.∴∠POC＝90°.即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，所以PO⊥平面ABC.你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手．分析法(1)含义：从求证的出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的，直到归结为这个命题的，或者归结为等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：结论充分条件条件定义、公理、定理Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例2]当a＋b0时，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．[思路点拨]条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析]要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，所以a2＋b2≥22(a＋b)成立．[一点通]分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证……，只需证……”．3．求证：3＋64＋5.证明：欲证不等式3＋64＋5成立，只需证3＋218＋64＋220＋5成立，即证1820成立，即证1820成立．由于1820成立，故3＋64＋5.4．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)．只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立．∴AF⊥SC.回顾基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2[一点通]综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明：∵1a－11b－11c－1＝a＋b＋ca－1·a＋b＋cb－1·a＋b＋cc－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．6．设x，y为正实数，且x＋y＝1，求证：1＋1x1＋1y≥9.证明：法一：(综合法)左边＝1＋x＋yx1＋x＋yy＝2＋yx2＋xy＝4＋2yx＋xy＋1≥5＋4＝9.法二：(分析法)要证1＋1x1＋1y≥9成立，∵x0，y0且x＋y＝1，∴y＝1－x0，只需证明1＋1x1＋11－x≥9，即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，即证2＋x－x2≥9x－9x2，即证4x2－4x＋1≥0，即证(2x－1)2≥0，此式显然成立，所以原不等式成立．分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．[例3]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，记A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[精解详析]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证明ca＋b＋ab＋c＝1，所以只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证明c2＋a2＝ac＋b2.(*)∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴∠B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°.∴b2＝c2＋a2－ac.代入(*)式，等式成立．∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故命题得证．