17.2一元二次方程的解法--开平方法

一元二次方程的解法开平方法1.什么叫做平方根?如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。知识回顾用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=a如：9的平方根是______±352254的平方根是______2.平方根有哪些性质？(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。aa即x=或x=9x2思考：怎样解这种形式的方程？从平方根的意义上来思考，一个数x的平方等于9，那么这个数是多少？3x9x解：3x3,x21原方程的解是0)a(ax2ax,ax21一般地,对于形如的方程,根据平方根的定义,可解得这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.思考：开平方法适合解什么样的方程,02时x021xx（默1）例1解下列方程（1）x2-1.21=0（2）4x2+1=0解:x2=1.21x=±1.1∴原方程的解是x1=1.1，x2=-1.1解:4x2=-1∴此方程无实数解41x2=21.1x开平方法解一元二次方程的基本步骤：（2）ax,ax21)1化完全平方的项系数为移常数项,(0)a(ax2（1）将方程变形成（默2）试一试：A.n=0B.m、n异号C.n是m的整数倍D.m、n同号已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）A.B02cax.2cax.2acx.acx当a,c异号时，形如（a≠0，）的一元二次方程的解法：当a，c同号时，此方程无实数解.0021xxc时，当（默3）-3x2+7=0.解：.321,321,321,37,37,732122xxxxxx原方程的解是22∴原方程的解是x1=-1+，x2=-1-例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－2x）2－3=0分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；解：（1）2x+1=这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.开平方法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程变形成0)a(ax2（2）ax,ax21x+1=2或x+1=2典型例题分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；例2解下列方程：⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－2x）2－3=0解：（2）移项，得（x-1）2=4x-1=±241xx-1=2或x-1=-2x1=3，x2=-1∴原方程的解是例2解下列方程：⑶12（3－2x）2－3=0分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。解：(3)移项，得12（3-2x）2=3两边都除以12，得（3-2x）2=3-2x=±0.53-2x=0.5或3-2x=-0.5414123x4547x1=，x2=∴原方程的解是（默4）对于缺少一次项的一元二次方程用开平方法来解比较简便。例如：9y2-1=0形如（1）ax2+c=0(即没有一次项).b=0（2）a(x-m)2=k例如：3(x-2)2=12注意：在用直接开平方法解一元二次方程时（1）中的a和c要满足什么条件？（2）中的a和k呢？任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？（默5）请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？273)3(03)2(3)1(222yttxxxxy36)6(6)32)(5(04)1)(4(2221、小试身手:判断下列一元二次方程能否用开平方法求出解并说明理由.1）x2=2()2）p2-49=0()3）6x2=3()4)（5x+9）2+16=0()5)121-(y+3)2=0()×√√√√2、明察秋毫。下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。（y+1）2-5=0解：（y+1）2=5y+1=y=-1y=-1131313513535（×）（×）.开平方法解方程x2=4.x=2错因评析：对于平方根的概念不清晰，一个正数的平方根有两个且互为相反数。x1=4，x2=-4错因评析：忘记重要一点——方程两边要同时开平方，不能只开一边。正解：x=±2典型例题知识归纳（4）化为两个一元一次方程akhxakhx或)0,0(0)(2akakhxa开平方法步骤akhx③两边同时开平方（5）求解akhxakhx21或②两边同除以二次项系数ak)hx(2①移常数项khxa2)(（默6）左边＝右边含有x的完全平方式(x+h)2＝非负数＝k(k≥0)典型例题例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2x1=-1，x2=1分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解2)2(x解：2x-1=2x-1=±（x-2）2x-1=x-2或2x-1=-x+2∴原方程的解是（默7）练习：解下列方程（3x-4）²=（4x-3）²解：3x-4=±（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7原方程的解是x1=-1，x2=1首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解讨论1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？如果一个一元二次方程具有（x＋h）2=k（k≥0）的形式，那么就可以用开平方法求解。2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明练一练24741;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-41、下列解方程的过程中，正确的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,x1=D归纳总结1、用开平方法解一元二次方程的一般步骤；2、任意一个一元二次方程都可以用开平方法解吗？例：设a是方程x2-2006x+1=0的一个实数根，则12006200522aaa分析：根据方程根的意义把a2“降次”。解：∵a是方程的一个根12006200522aaa1120062006200512006aaa2005111200611112aaaaaa评：本题主要考察学生利用方程根的意义把高次“转化”为低次的数学思想方法。∴a2-2006a+1=0∴a2=2006a-1例.若x2-x-2=0,则的值等于（）31)(32222xxxxA.B.C.D.333333或332332)313312333223123222（）（原式分析：运用整体思想把x2-x换成2后再化简。解：∵x2-x-2=0∴x2-x=2评：本题主要考察学生整体代换的数学思想方法和二次根式的化简。用开平方法解下列方程及时反馈9)2(1204)1(22xx4)1x(2解：21x3x,1x21用开平方法解下列方程9)2x(1204)1x(22129)2x(2解：232x232x,232x21（2）（用开平方法）()()xx4412xxxx22121612282727，解：