离散数学-第四章的课件

1主要内容一阶逻辑命题符号化个体词、谓词、量词一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其解释一阶语言合式公式合式公式的解释永真式、矛盾式、可满足式第四章一阶逻辑基本概念24.1一阶逻辑命题符号化个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，常用a,b,c表示个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x,y,z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围个体域可以是有穷集合，如{a,b,c},{1,2},…也可以是无穷集合，如自然数集合N,整数集合Z,实数集合R,…全总个体域——由宇宙间一切事物组成，包括万事万物本书在论述或推理中如不指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。3谓词谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词，常用F，G，H，…表示。谓词常项——表示具体性质或关系的谓词。如,F(a)：a是人谓词变项——表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词。如,F(x)：x具有性质Fn（n1）元谓词——表示以个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或关系。一元谓词(n=1)——表示个体词的性质多元谓词(n2)——表示个体词之间的相互关系如,L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，…0元谓词——不含个体变项的谓词,例如：F(a)，G(a,b)，P(a1,a2,a3,…,an)等都是0元谓词。当谓词为谓词常项时，0元谓词为命题。命题逻辑中的命题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题看成特殊的谓词。4实例1例4.1将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论它们的真值:(1)只有2是素数，4才是素数。(2)如果5大于4，则4大于6.解(1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。(1)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式:F(b)→F(a)由于此蕴涵式的前件为假，所以(1)中命题为真。(2)设二元谓词G(x，y):x大于y，a:4，b:5，c:6。G(b,a)，G(a,c)是两个0元谓词，把(2)中命题符号化为G(b,a)→G(a,c)由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中命题为假。5量词量词——表示个体常项或变项之间数量关系的词全称量词:表示所有的.如：“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等x:表示个体域中的所有个体x如,xF(x)表示个体域中所有个体x都有性质FxyG(x,y)表示个体域中的所有个体x和y有关系G，其中F和G是谓词。存在量词:表示存在,有一个.如：“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”，“有的”，“至少有一个”等x:个体域中存在个体x如,xF(x)表示个体域中存在个体x具有性质FxyG(x,y)表示个体域中存在个体x和y有关系G全称量词与存在量词可以联合使用。xyG(x,y)表示对个体域中每一个个体x都存在一个个体y使得x和y有关系GxyG(x,y)表示个体域中存在个体x使得和个体域中的所有个体y具有关系G6实例2例4.2在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面两个命题符号化:(1)凡人都呼吸。(2)有的人用左手写字。其中:(a)个体域D1为人类集合；(b)个体域D2为全总个体域。解(a)令F(x):x呼吸.G(x)：x用左手写字(1)符号化为xF(x)(2)符号化为xG(x)(b)D2中处有人外，还有万物，因而在符号化时必须考虑将人先分离出来。为此引入特性谓词M(x)：x为人,F(x)和G(x)的含义同(a)中。(1)x(M(x)F(x))(2)x(M(x)G(x))一定要注意正确使用特性谓词M(x)、和联接词。(a)中的公式(1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式当F是谓词常项时，xF(x)是一个命题。如果把个体域中的任何一个个体a代入，F(a)都为真，则xF(x)为真；否则xF(x)为假。当F是谓词常项时，xF(x)也是一个命题。如果个体域中存在一个个体a，使得F(a)都为真，则xF(x)为真；否则xF(x)为假。7实例3例4.3在个体域限制为(a)和(b)条件时，将下列命题符号化，并给出真值:(1)对于任意的x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2).(2)存在x，使得x+5=3.其中:(a)个体域D1=N(b)个体域D2=R解(a)令F(x)：x2-3x+2=(x-1)(x-2)，G(x):x+5=3(1)符号化为xF(x)真命题(2)符号化为xG(x)假命题(b)在D2内，(1)和(2)的符号化形式还是同(a)，(1)依然是真命题，而此时(2)也是真命题。从例4.2和例4.3可以看出以下两点:1.在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。2.同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。3.若没有指明个体域，就采用全总个体域.8实例4例4.4将下列命题符号化，并讨论真值(1)所有的人都长着黑头发。(2)有的人登上过月球。(3)没有人登上过木星。(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。解令M(x)：x为人(1)令F(x):x长着黑头发,则命题(1)符号化为:x(M(x)F(x))设a为某金发姑娘，则M(a)为真，而F(a)为假，其(1)为假命题(2)令G(x):x登上过月球,则命题(2)符号化为:x(M(x)G(x))设a是1969年登上月球完成阿波罗计划的美国宇航员阿姆斯特朗，则M(a)∧G(a)为真，所以(2)为真命题。9(3)令H(x):x登上过木星,则命题(3)符号化为:x(M(x)H(x))到目前为止，对于任何一个人(含已经去世的人)都还没有登上过木星，所以对任何人a，M(a)∧H(a)均为假，因而(M(x)∧H(x))为假，所以(3)为真命题。(4)令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。命题(4)符号化形式为x(F(x)G(x))这个命题也为真。例4.4将下列命题符号化，并讨论真值(1)所有的人都长着黑头发。(2)有的人登上过月球。(3)没有人登上过木星。(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。10实例5例4.5将下列命题符号化:(1)兔子比乌龟跑得快。(2)有的兔子比所有的乌龟跑得快。(3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。(4)不存在跑得同样快的两只兔子。解:令F(x):x是兔子，G(y):y是乌龟，H(x,y):x比y跑得快，L(x,y):x与y跑得同样快。这4个命题分别符号化为(1)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))(2)x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y))或xy(F(x)∧(G(y)→H(x,y))(3)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))或xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y))(4)xy(F(x)∧F(y)∧L(x,y))或xy(F(x)∧F(y)→L(x,y))11注意：1、分析命题中的表示性质和关系的谓词，分别符号化为一元谓词和n(n≥2)元谓词.2、根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词.3、一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换.4、命题的符号化形式不惟一.对于含n元谓词的命题，在符号化时应注意以下几点：124.2一阶逻辑公式及解释定义4.1设L是一个非逻辑符号集合,由L生成的一阶语言L的字母表包括下述符号：非逻辑符号(1)L中的个体常项符号：a,b,c,…,ai,bi,ci,…,i1(2)L中的函数符号：f,g,h,…,fi,gi,hi,…,i1(3)L中的谓词符号：F,G,H,…,Fi,Gi,Hi,…,i1逻辑符号(4)个体变项符号：x,y,z,…,xi,yi,zi,…,i1(5)量词符号：,(6)联结词符号：,,,,(7)括号与逗号：(,),，.13一阶语言L的项与原子公式定义4.2一阶语言L的项的定义如下：(1)个体常项和个体变项是项.(2)若(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意的n个项，则(t1,t2,…,tn)是项.(3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的如,a,x,x+y,f(x),g(x,y),f(x+y,z),g(x·y,y),h(x·y,x+y+z)等都是项定义4.3设R(x1,x2,…,xn)是一阶语言L的任意的n元谓词，t1,t2,…,tn是一阶语言L的任意的n个项，则称R(t1,t2,…,tn)是一阶语言L的原子公式.如，F(x,y),F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式原子公式是由项组成的n元谓词14定义4.4一阶语言L的合式公式定义如下：(1)原子公式是合式公式.(2)若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3)若A,B是合式公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)也是合式公式(4)若A是合式公式，则xA,xA也是合式公式(5)只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式.L的合式公式也称为谓词公式，简称公式。如,F(x),F(x)G(x,y),x(F(x)G(x))xy(F(x)G(y)L(x,y))等都是合式公式一阶语言L的合式公式15辖域、指导变元、约束变元、约束出现、自由出现定义4.5在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域.在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其它变项均称为自由出现.例如，x(F(x,y)G(x,z))，x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现又如,x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))),x中的x是指导变元,辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))).y中的y是指导变元,辖域为(G(x,y)H(x,y,z)).x的3次出现都是约束出现,y的第一次出现是自由出现,后2次是约束出现,z的2次出现都是自由出现。注意：在以上公式中，前件中的x（它在x的辖域中）与后件中的x（它不在x的辖域中）不是同一个东西，而是两个不同的东西使用了同一个符号，如同两个人都叫李四，是两个不同的人起了同一个名字。16封闭的公式定义4.6若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.例如，xy(F(x)G(y)H(x,y))为闭式，而x(F(x)G(x,y))不是闭式17设公式A，规定在解释I下,取个体域DI,把A中的个体常项符号a、函数符号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释、、,称所得到的公式A为A在I下的解释,或A在I下被解释成A.公式的解释FafF定义4.7设L是非逻辑符号集合L生成的一阶语言,L的解释I由4部分组成：(a)非空个体域DI.(b)对每一个个体常项符号aL,有一个DI,称为a在I中的解释.(c)对每一个n元函数符号fL,有一个DI上的n元函数,称为f在I中的解释.(d)对每一个n元谓词符号FL,有一个DI上的n元谓词常项,称为F在I中的解释.aInIDDf:afF18实例yxyxF:),(0ayxyxgyxyxf),(,),(例4.8给定解释I如下：(a)个体域D=N(b)(c)(d)写出下列公式在I下的解释,并指出它的真值.(1)F(f(x,y),g(x,y))(2)F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)(3)┐F(g(x,y),g(y,z))(4)xF(g(x,y),z)(5)xF(g(x,a),x)→F(x,y)(6)xF(g(x,a),x)(7)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))(8)xyzF(f(x,y),z)(9)xF(f(x,x),g(x,x))在I下，(1)中公式被解释成“x+y=x·y”，这不是命题。真值不确定。在I下，(2)中公式被解释成“(x+0=y)→(x·y=z)”，这不是命题。真值不确定。在I下，(3)中公式被解释成“x·y≠y·z”，这不是命题。真值不确定。在I下，(4)中公式被解释成“x(