原子物理学ch3-part2新

§16平均值与算符（介绍）(1)平均值的求法均质细棒长L，坐标位置x可在0~L之间任何地方，其平均值：22dd200LLLxxxxLL（重心）若棒是非均匀的，其密度为r(x)，则有LLxxxxxx00d)(d)(rr一般函数f(x)在x的定义域[0,L]范围内的平均值LLxxPxxPxfxf00d)(d)()()(（权重平均）P(x)是f(x)在x定义域内的概率分布，通常1d)(0LxxP（归一化条件）量子力学中，y*y相当于x空间的概率分布-xxxψxψxd)()(归一化条件1d)()(-xxψxψ表示在整个空间内找到粒子的概率为100%。任何位置的可测量函数f(x)的平均值-xxψxfxψxfd)()()()((2)算符的引入对于动量px，必须在动量表象中求它平均值-xxkkpkpd)()(f(k)含义：粒子的动量px~px+dpx之间的概率为f*(k)f(k)dkk为波矢，它与px一一对应：kpx（位置表象）利用傅里叶变换把位置表象与动量表象联系起来-ide)(21)(xxψkkx--ide)(21)(kkxψkx积分前的常数保证了波函数的归一化，代入前式有--kx-xkxkxxψkxxψpdd)e(d)e(21ii--kx-xkkxxxψxxψd)d(e)(d)e(2iii把括号内的第二个积分作分部积分，且有y(∞)=0，即得：xxxψkxxψ-p--kx-xkxd)(ded)e(2121iii方括号内的积分就是f*(k)，大括号内的积分就是y*(x)，于是xxψx-xψpx)d(i)(为了要在位置表象里求，即为了从y(x)求，只有把px换成xpxpx-pxiˆ即xxψpxψpxx)d(ˆ)(就可以依照求的方法求。xpx（动量x分量的算符）在三维空间iˆ-p•动量算符对一维运动量子力学的又一基本假设：系统的任何力学量均对应一算符，力学量所能取的值是其相应算符的本征值。例如：能量算符tEiˆx-pxiˆ在位置表象里，凡是可以写作x函数的可测量物理量，它们的算符就是它们自己，即)()(ˆxfxf•坐标算符rrrˆ（就是它自己）xxˆ222iiˆˆˆppp•动能算符：mpE22kmmppE22ˆˆˆ22k•能量算符:•角动量算符:在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V由此式可知哈密顿算符为角动量是原子物理中一个重要的力学量。本节介绍微观世界中角动量的特点。在经典力学中，角动量L的表示式是L=r×p。在量子力学中，对电子的轨道运动，保留这个关系，并将其用算符表示：yzxpzpyLˆˆˆzxypxpzLˆˆˆxyzpypxLˆˆˆ2222ˆˆˆˆˆˆzyxLLLLLLi,iptE在上节介绍薛定谔方程时已经指出，在经典的能量关系式中，如作变换并使经典能量关系式两边作用于波函数，就得到薛定谔方程算符的对易关系ipxGFGFFGFGGFFGFGx]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆˆˆ:0]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[对易和，称即如HAEAHAEHHAAHAHAAEEAHAAHEHHAnˆˆˆ0],ˆ[ˆˆˆ)ˆ(ˆˆ)ˆ(,0],ˆ[因为否则，和，则不能同时如且允许的本征函数也是的本征函数也是则如一个粒子可以有多个可测的物理量。若某粒子处于力学量A的本征态，则测量A时将得到确定值。若在A的本征态下测量另一个力学量B时，是否能得到确定的值，就不一定了。如果A，B能同时具有确定值，那么它们就具有共同的本征态，Aˆ算符作用于自己的本征函数yA，等于一个数值A乘以yA。上式称为算符的本征方程。解这个方程，就可得到算符的一套本征函数yA和相应的一套本征值A。AˆAˆAˆ(3)算符的本征值问题)()(ˆrErH利用定态薛定谔方程求解能量和定态波函数实际上是一个能量算符的本征值问题。E：称为能量算符的本征值。——能量算符Hˆ的本征值方程为了使波函数单值、连续、有限，能量的取值受到了限制。：称为能量算符的本征函数（本征态）)(rE1，E2，….，En，….同理，通过求解动量算符、角动量算符…的本征方程可得到相应算符的本征函数和本征值。对于处在束缚态势场中的粒子能量只能取一系列的分立值：§17氢原子的薛定谔方程解氢原子问题是用薛定谔方程唯一可以严格求解的原子结构问题，因而也是最有代表性的。本节将给出解题的大致步骤，列出结果，并讨论其物理意义。一、氢原子的薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动：reU024定态薛定谔方程：)()(]42[0222rErre氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：cossinrxsinsinry)(1222rrrr)(sinsin12r2222sin1r氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：)(1[2222rrrr)(sinsin12r]sin12222rEre024),,(r二、分离变量1．),()(),,(YrRr代入方程，并用乘以两边：),()(/2YrRr2202222422)dd(dd1rrerErRrrR]sin1)(sinsin1[1222YYY是一个与无关的常数。,,r径向方程：0422)dd(dd12202222RrRreRErRrrr角方程：YYY222sin1)(sinsin12．)()(),(YYYY222sin1)(sinsin1代入方程，并用乘以两边：)()(/sin2222dd1sin)dd(sinddsin是一个与无关的常数。,0)sin()dd(sinddsin120dd22三、三方程的解R,,1．方程的解0dd222m0dd222m方程的解为：mAei)(波函数单值：)2()(2ii)2(iieeeemmmmAAA12sini2cose2immm3,2,1,0m波函数归一化：12dd*220220AA21Amie21)(3,2,1,0m2．方程的解0)sin()dd(sinddsin122m关联勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数标准条件的解，必须对和加以限制：m)1(ll3,2,1,0lml3,2,1,0m方程的解为关联勒让德多项式：)(cos)(mllmlmPB3,2,1,0l3,2,1,0m)!(2)12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxxxlxP)1(dd)1(!21)(222cosx)(cos)(mllmlmPB)!(2)12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxxxlxP)1(dd)1(!21)(2220l2100B0m100P21001l1m2310Bcos01Pcos23101l0m4311Bsin11Psin43112l0m2520B)1cos3(21202P)1cos3(852203．方程的解R0])1()4(2[)dd(dd1202222RrllreErRrrr关联拉盖尔方程，方程的解为关联拉盖尔多项式)()(1212rrrrlnlnlnlLeCR02narr102112!)!12()!1(])![()1()(lnkkkllnkklklnlnLrr330])![(2)!1()2(lnnlnnaCnl3,2,1n12,1,0nl22004mea玻尔半径只要给出了n、l的一对具体的数值，就可以得到一个満足标准条件的解。四、H原子的波函数)()()(),,(,,,,mlnlnmlnrRr3,2,1n12,1,0nllm3,2,1,0对应一组量子数mln,,mln,,因此确定了原子的状态。),,(,,rmln就能给出波函数的一个具体形式，当E0时，E取任何值都能使R满足标准条件的解。所以正值的能量是连续的，相当于自由电子与H+离子结合为原子时释放的能量。量子力学对氢原子运动状态的描绘mln,,一、量子数的物理意义n1．主量子数与能量量子化0E224202)4(1nmeEn3,2,1n当时，自然得出:能量是量子化的。TheenergyeigenvaluesofhydrogenatomaredeterminedonlybythequantumnumbernTheabscissadenotesthepositioncoordinateoftheelectron(thedistancebetweentheprotonandelectron),r,inunitsoftheBohrradius,whereThegroundstate:Theenergyisquantised;Eniscontinueswhennmmea10220010529.04二者一致，所以玻尔理论给出了近似的结果。)1(llL12,1,0nlnpnn2,11ll)1(lL2．角量子数l和角动量量子化角动量是量子化的，自然得出。旧量子论：当角动量很大时，角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取向量子化，自然得出。lzmLlml2,1,03．磁量子数m和空间量子化（共2l+1个）2lm=00m=-1B(z)m=-22m=1m=22zL6L62,,0ZL)12(2)1(llLmLZlm,,2,1,0Forexample：由于薛定谔方程是非相对论的，没有导出自旋量子数和自旋磁量子数。ssm解题得出三个量子数n,l,m。主量子数n=1,2,3,…,主量子数n与电子的能量有关，具有相应能量的电子依次称为K，L，M，N，O，P，…主壳层的电子；角量子数l=0,1,2,…n-1.角量子数l与电子的角动量有关，l=0,1,2,3,4,5,…的态依次称为s,p,d,f,g,h，…态，处于这些态上的电子依次称为s,p,d,f,g,h,…，电子，也叫次壳层电子；磁量子数m=0,±1，±2，…±l.磁量子数m与电子的磁矩有关，对应一个l，m可表示为ml，ml可取2l+1个值。宇称是描述微观粒子波函数空间反演对称性的一个物理量2(,,)(,,)nlmnlmrr222)()()(mlmnlrR因此，在附近、内找到电子的几率为：在球坐标中，,,rVdVrnlmd),,(VrRmlmnld)()()(222ddrdrdVsin2二、电子的几率分布2)(m)(2lm)(2rRnl：代表几率随角度的分布；：代表几率随角度的分布；：代表几率随矢径的分布；Vrnlmd),,(