高中数学方法讲解之放缩法

第1页共4页放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2；2)1()1(nnnn⑷利用常用结论：Ⅰ、kkkkk21111；Ⅱ、kkkkk111)1(112；111)1(112kkkkk（程度大）Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122kkkkkk；（程度小）例1.若a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa【巧证】：记m=caddbdccacbbdbaa∵a,b,c,dR+∴1cbaddbadccacbabdcbaam第2页共4页2cdddccbabbaam∴1m2即原式成立例2.当n2时，求证：1)1(log)1(lognnnn【巧证】：∵n2∴0)1(log,0)1(lognnnn∴2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nn∴n2时,1)1(log)1(lognnnn例3.求证：213121112222n【巧证】：nnnnn111)1(112∴2121113121211113121112222nnnn十二、放缩法:巧练一：设x0,y0,yxyxa1,yyxxb11，求证：ab巧练一：【巧证】：yyxxyxyyxxyxyx11111巧练二：求证：lg9•lg111巧练二：【巧证】：122299lg211lg9lg11lg9lg222巧练三：1)1(log)1(lognnnn巧练三：【巧证】：第3页共4页222)1(log)1(log)1(lognnnnnn12log22nn巧练四：若abc,则0411accbba巧练四：【巧证】：cacbbacbbacbba4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112nRnnnnn巧练五：【巧证】：左边11111122222nnnnnnnn巧练六：121211121nnn巧练六：【巧证】：11121nnnn中式巧练七：已知a,b,c0,且a2+b2=c2，求证：an+bncn(n≥3,nR*)巧练七：【巧证】：∵122cbca，又a,b,c0,∴22,cbcbcacann∴1nncbca放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法等。所谓放缩法，要证明不等式AB成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即AC，后证CB，这种证法便称为放缩法。放缩法的常见技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项。（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩。（4）应用函数的单调性进行放缩。（5）根据题目条件进行放缩。放缩法的理论依据主要有：（1）不等式的传递性；第4页共4页（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法。注意：（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度（3）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。