1-1状态空间模型

现代控制理论基础主讲：王划一山东大学控制学院第2讲第一章控制系统的状态空间模型§1-1系统的状态空间表达式§1-2由微分方程求状态空间表达式§1-3由传递函数求状态空间表达式§1-4由结构图建立状态空间表达式§1-5由状态空间表达式转换为传递函数§1-6状态方程的线性变换§1-7多变量系统的传递函数阵数学模型：描述系统动态行为的数学表达式，称为控制系统的数学模型。经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定输入的响应来表征。实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能完全揭示系统内全部运动状态的。我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程，被当作中间变量消掉了。现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。因而能同时确定系统内部的全部运动状态。所谓“状态”是指描述系统动态行为的基本变量的集合，这些必要且充分的变量，足以完全描述系统的动态行为。相平面法：用来求解二阶常微分方程的图解方法0),(xxfx设二阶系统的常微分方程为：式中是x和的线性或非线性函数。),(xxfx§1-1.状空间表达式一.状态及状态空间则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们称x和为相变量。如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。若采用x和作为平面的直角坐标轴，则系统在每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间t变化时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹。xx),(xxfx若表示为xx00(,)xx则由x1与x2张成的平面即为状态平面。12,xxxx令由所组成的平面坐标系称为相平面xx过去，用解析法求二阶微分方程不很方便，在工程上出现了作图求解的方法。即先用几何作图法画出x与的相轨迹图，再利用图形分析系统或求近似解。x1.状态：定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。注意：﹡完全描述：若给定t=t0时刻这组变量的值（初始状态）又已知t≥t0时系统的输入u(t)，则系统在t≥t0时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。例：RLC网络如下图所示，试选择系统的状态变量按以前的方法，令电路初始条件为零，用传递函数求解系统的行为，即：Y(s)=G(s)U(s)，只能求出输入—输出关系。这只是求出了零状态下的单个输出解，是一种外部描述，对于二阶系统来说不是完整描述。RCu(t)y(t)Li()cdiLRiuutdt写出网络的回路方程:这个方程有两个独立的未知变量i和uc,只要求出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。在非零初始条件下。系统的行为不仅与输入有关，且与初始状态有关，此时，要确定系统的完全行为，必须先知道这两方面的信息。本例中，根据电路知识，只要知道了电感上的初始电流i(0)和电容的初始电压uc(0)以及输入u(t)，就可确定电路的全部状态。故根据状态的定义，可选i和uc为本系统的状态变量。﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量在t=t0时，若已知u(t)及uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)。则由克希霍夫定律,可求得电路的解。故uc1(t),uc2(t),uc3(t)均可选作状态变量。u(t)RC2C1C3i1i2i3y(t)但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立的，因此，最小变量组的个数应是二。一般的：状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数=系统的阶数对于n阶系统，有n个状态变量：x1(t),x2(t),…xn(t)﹡状态变量具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。2.状态空间：定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间后，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量。记为：121()()()()nnxtxtxtxt又表示为：x(t)∈Rn[x(t)属于n维状态空间]引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。换一种说法即状态空间是由所有状态矢量x组成的，系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。3.状态轨线：定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：3x1x2x10x20x30x0t1t2t3t可见，状态向量的状态空间表示，将向量的代数结构和几何概念联系起来。二.状态空间表达式是一组一阶微分方程组和代数方程组成，它们分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。1.建立方法：例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.y(t)u(t)kf弹簧-质量-阻尼器系统m解：由牛顿第二定律：列基本方程：Fma22dydymutfkydtdt即：22dydymfkyutdtdt选择状态变量：()()1xtyt()()2xtyt故得：()2121kfxtxxummm而()1ytx)()(21txtx将以上方程组写成矢量矩阵形式11220101xxxukfxxmmm()1210xytx即CxyBuAxx完整描述系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法1）首先根据基本规则列基本方程；2）选择系统的状态变量；（按状态定义选）3）列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。2.一般形式：上例中二阶系统的状态空间表达式又可表示成矩阵矢量方程形式xAxBuyCx212111其中：1210C2101bm2201Akfmm对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）多输入多输出系统对象输出元件u1u2urx1x2xny1y2ym其中：1()ruutu控制矢量;1myymy维输出矢量Ann系统矩阵阶常数矩阵(Bnr控制矩阵输入矩阵),阶常数矩阵.状态矢量)(txnnnrnnrmrmnmnrx(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t)111111一阶微分方程组代数方程C-输出矩阵m×n阶常数矩阵D-直连矩阵m×r阶常数矩阵3.一般线性时变系统：xtAtxtBtutytCtxtDtut()()()()()()()()()()区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程)4.非线性定常系统:xtfxtutytgxtut()()()()()()xtfxtuttytgxtutt()(),(),()(),(),6.线性系统状态空间表达式的简便写法：由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:∑(A,B,C,D)——定常∑[A(t),B(t),C(t),D(t)]——时变5.非线性时变系统：三.线性系统的结构图和信号流图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式：xAxBuyCxDu按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。A(t)D(t)C(t)B(t)++++xxy(t)u(t)dt1、结构图：2、信号流图D(t)u(t)B(t)()xt∫dtx(t)C(t)y(t)A(t)在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图例：单输入－单输出系统111121122122221122()()()()xtaaxbutxtaaxbxytccxa11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt+++++x1x21x2xy+++u由图可见，无论系统阶次多高，按图都可方便的进行模拟。且图中只有加法器和积分器。完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。例1-2：试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。MRauaLaiaUf=constEaJ,fJ:电动机轴上的转动惯量f:负载为阻尼摩擦性质解：由基本规律列写原始方程：aedECdt电枢回路方程：22maddCiJfdtdt转矩平衡方程:aaaaediduRiLCdtdt反电势方程:选状态变量:123,,axixxaeaaaaaRcxiiuLLL11131aeaaaRCxxuLLL23xx313mmaCCfdfxixxJJdtJJ故得状态方程：12310001000aeaaamRCLLLxXxuCxfJJ而输出方程为：123010xYxx最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图aRLdtaCLdtmCJdt1aLfJ11+++u(t)1x2x3xx1x2x3++Y(t)小结：状态空间表达式是现代控制理论中系统的数学模型。它是以状态变量为基本出发点，阐明了系统的状态变量是影响系统性能的因素，比简单的输入—输出描述更近了一步。1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：输入动态过程微分方程组状态变换过程代数方程组输出即u(t)状态方程输出方程x(t)y=Cx+Duy(t)xAxBu2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。（但由后面的分析可知。由于系统的特征值不变，分析可控性和可观性及求传递矩阵等结果均不受影响）。3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对应，一般取储能元件的状态量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.状态空间表达式的数学模型形式不随变量的增加变复杂，其形式是一致的。结束2