非均匀有理B样条NURBS曲线

©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/24第六章曲线和曲面(二)©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/242/60主要内容：曲线、曲面参数表示的基础知识常用的参数曲线常用的参数曲面©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/243/60曲线绘制问题给定n+1个数据点，，生成一个曲线，使该曲线与这些点所描述的形状相符。如果要求曲线通过所有的数据点－》插值问题－》用于重建数字化表示的曲线；如果要求曲线逼近这些数据点－》逼近问题－》主要用于设计美观的或符合某种美学标准的曲线；解决上述问题的方法：找到一种用小的部分即曲线段来构建曲线的方法，以满足设计标准；-曲线和曲线段可以用折线代替，即用非常短的线段绘制；用曲线段拟合曲线时，把曲线表示为许多小线段之和，其中称为基（调和）函数；),(,),,(000nnnyxPyxP)(xf)(xBi)(xBiNiiixBaxf0)()(©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/244/60曲线绘制问题基函数要用于计算和显示，因此经常选择多项式作为基函数。次多项式有下列形式，此多项式由它的n+1个系数决定：连续分段n次多项式是k个多项式的集合，每个多项式是n阶，且有k+1个节点，即：上式要求多项式在节点处连续，即但多项式在节点处不一定光滑，即在节点处可以有尖角或拐点；多项式的阶数：-高阶多项式有摇摆特性－》曲线绘制时不是很有用；-最有用的分段多项式为3阶多项式：原因：达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是3；表示三维曲线所需的最小数字是3；n0111)(axaxaxaxQnnnn)(xQ)(xqiktt,,01,,0)()(1kiandtxtifxqxQiii1,,1),()(1kitqtqiiii©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/245/60常用的参数曲线Bezier曲线B样条曲线非均匀有理B样条（NURBS）曲线常用参数曲线的等价表示©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/246/60常用的参数曲线－Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司的PE.Bezier1972年，UNISURF系统定义：-一种以逼近为基础的参数曲线；-由一组折线集，或Bezier特征多边形定义；-曲线的起点、终点与多边形起点、终点重合；-多边形的第一个边与最后一个边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向；-形状趋于特征多边形的形状；-给定空间n+1个点的位置矢量：Pi，则Bezier曲线各点坐标的插值公式：10),()(0,ttBPtCninii©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/247/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bernstein基函数（曲线上各点位置矢量的调和函数）形式：nittCttinintBiniininini,,1,011!!!)(,Bernstein调和函数的性质：-1）正性：当满足时：当满足时：1,,2,1)1,0(,01,,2,11,0,0)(,nitnittBni)1,0(1)(),(00)0()1(;1)1()0(,,0,,0,,0ttBtBBBBBnnnnnnnnn1,,2,1ni0ini和©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/248/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bernstein调和函数的性质：-2）权性：-3）对称性：-4）递推性：高次Bernstein调和函数可由两个低一次Bernstein调和函数线性组合而成；nininiininnitttttCtB00,)1,0(,1])1[()1()()()1()1()]1(1[)1(,)(,tBttCCCttCtBniiniinininnininninnnin)()()1()1()1()1()1()()1()(,,1,0)()()1()(1,11,1)1()1(11)1(1111,1,11,,ttBtBttttCttCtttCCttCtBnittBtBttBniniiinininiininiinininiinnininini©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/249/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bernstein调和函数的性质：-5）导函数：nitBtBnttnCttnCttininttinintinttitininttininttCtBniniiininiinininiiniiniiniiniiniinni,,1,0)],()([)1()1()1()!1(!!)1()!()!1(!])1)(()1([)!(!!])1()!(!![])1([)(1,1,1111111111''',三次Bernstein调和函数曲线©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2410/60常用的参数曲线－Bezier曲线-6）降阶公式:-7）升阶公式:-8）积分:-9）最大值:在t=i/n处取得最大值-10）线性无关性是n次多项式空间的一组基函数，)(11)(1)(1,1,1,tBnintBinitBninini11)(10,ntBnininitB0,)()()()1()(1,11,,ttBtBttBninini©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2411/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的性质：-1）端点性质：A)端点位置矢量：ninniiinnnnninniiPBPCtifPCiiBPBPBPBPCtif0,0,,110,00,)1()1(,1)0(01000)0()0()0()0()0(,0-Bezier曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、终点重合；©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2412/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的性质：B)切矢量：)()1(,1);()0(,0;)]()([)(1'01'101,1,1'nnnininiiPPnCtifPPnCtiftBtBPntC-Bezier曲线的起点、终点的切线方向与其相应的特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致；©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2413/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的性质：C)曲率：)2)(1()1(,1);2)(1()0(,0;)()2()1()(21''012''202,12''nnnniniiiiPPPnnCtifPPPnnCtiftBPPPnntC-Bezier曲线在端点处的r阶导数，只与（r+1）个相邻点有关，与更远的点无关；©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2414/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的性质：D)r阶导函数的差分表示：-N次Bezier曲线的r阶导函数可用差分公式表示为：rkkikikrirrniirrnirrPCPwheretPtBrnndttCd00,)1(10)()!(!)(©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2415/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的性质：-2）对称性：若保持原Bezier曲线的全部定点位置不变，仅把次序颠倒，形成新的顶点；则新Bezier曲线形状不变，只是走向相反；10,)1()1()()(0,00,,**ttBPtBPtBPtCniniinininininnii-Bezier曲线及其特征多边形在起点处的几何性质与终点处相同；©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2416/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的性质：-3）凸包性：nittBtBninini,1,0101)(01)(,0,1）说明当t在0与1区间变化时，对某个t值，C（t）是特征多边形各项点Pi的加权平均，权因子依次是Bi,n(t);2）在几何图形上，Bezier曲线是Pi各点的凸线性组合，并且各点均落在特征多边形的凸包之中；©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2417/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的性质：-4）几何不变性：几何特性不随一定的坐标变换而变化的性质Bezier曲线的位置与形状仅与特征多边形的定点位置有关，不依赖坐标系的选择；即：niniininiitabauBPtBP0,0,10)()(-5）变差缩减性：如Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则直线与曲线的交点个数≤该直线和特征多边形的交点个数－》变差缩减性；说明Bezier曲线比特征多边形的波动小－》Bezier曲线比特征多边形所在的折线更光顺；©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2418/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的矩阵表示：-一次Bezier曲线-一次Bezier曲线是连接起点与终点的直线段；-二次Bezier曲线100111]1[)(:10)1()()(,11010101,tPPttCismatrixThettPPttBPtCnwheniii10001022121]1[)(:10)1(2)1()()(,2210220221022,tPPPtttCismatrixThetPtPttPttBPtCnwheniii二次Bezier曲线对应一条多边形起点与终点的抛物线；©2004Dept.ofComputerScienceandEngineer2020/3/2419/60常用的参数曲线－Bezier曲线Bezier曲线的矩阵表示：-三次Bezier曲线PTMPPPPTMtCThenTMttttBtBtBtBBttBtttBtttBttBAssumetPtPttPttPttBPtCnwhenzTzziii][)(,00010033036313311)()()()()(),1(3)(,)1(3)(,)1()(:10)1(3)1(3)1()()(,33210233,33,23,13,033,323,223,133,030332212033,©2004Dept.ofComputerScienceandE