第一章-有限元法绪论

有限元分析《有限元法—原理建模及应用》车驰东[e-mail]第一章绪论第一节有限元法的产生与基本思想•工程中遇到的数学方程可以分为两种：1）代数方程2）微分方程（例如：悬臂梁弯曲方程）44002323()0,00,0xxxlxldyEIFlxdxdyydxdydydxdx边界条件•数学方程的求解方法1）解析法（精确解）利用严格的数学推导进行求解2）数值法（近似解）通过一定算法利用计算机进行求解┏差分法•常用的数值方法╋变分法┗有限元法•差分法基本思路：用均匀的网格离散求解域，用离散点的差分代替微分，从而将微分方程转的求解转化为线性代数方程组的求解。例1：求解区间[a,b]上的一维函数y(x)，且y(x)满足()()()()(1-1)()0,()0()yxyxyxfxaxbyaybfx，其中为已知函数解：首先将[a,b]划分为n等分，相邻两节点之间的距离h称为步长，且h=(b-a)/n。n+1个节点上的函数值就是待求解的未知数导数的数学定义：因此，可以用差分近似代替微分得：00000()()()limxxxfxxfxdyyxdxx1111111122()()()(1-2)()()()()()()2()()2(1-3)iiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyyyyxhhyxyxyxyxhhyxhyxyxyxyyyhh在第1至第n-1个节点处将(1-2)及(1-3)代入(1-1)课得n-1个线性代数方程：再利用边界条件有这样就可以求得未知函数y(x)在n+1个节点上的近似值，而位于节点间的函数值则可以利用节点上的函数值线性插值求得。11122(1,2,31)iiiiiiiyyyyyyfhhin00,0nyy•变分法基本思路：微分方程边值问题的解等价于相应的泛函极值问题的解。也就是使得未知函数泛函取得驻值的y(x)就是方程的解。*里兹（Ritz）法是从一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好解”因此，解的精确度取决于“试探函数”的选取。边值问题的泛函表达式对于边值问题：其原问题的泛函可以表达为()()0()()()AyLyfByg在求解域内在边界上1[()]()..(,)2:..(,)TTIyxyLyyfdbtygbtyg1-4其中与边界条件有关。例2：求解以下边值问题解：将方程代入(1-4)求得其泛函221001(0)0,(1)0dyyxdxyy，12201112200012201[()]211122211(1-6)22xxdyIyxyyydxdxyyydxyydxyyydx设试探函数可以表示为：则有：2311211()()()()()(1-7)nnniiixaxxaxxaxxaxx123()()[()][,,]nyxxIyxIaaaa根据多元函数分析，泛函取驻值的必要条件是其对各自变量的偏导均为零，如此可得：这样,就可以得到由n个关于的线性方程组成的方程组，求解该方程组就可以求出这n个待定系数，再回代到(1-7)就可以求出y的近似表达式。12311232123,,0,,0,,0nnnnIaaaaaIaaaaaIaaaaa12,naaa•例3：求解以下边值问题根据（1-4）可得泛函为：()()001(0)0,(1)0yxyxxxyy，122012201[()]211(1-8)22dyIyxyyxydxdxyyxydx1）选取试探函数：将其代入（1-8）进行计算后得泛函为：然后使泛函对a的偏导等于零，有：()()(1)()2yxxaxxyxaax则有：2131[()]21012Iyxaa[()]50185(1)18Iyxaaayxx将回代入试探函数可得近似解：2）选取试探函数：将其代入（1-8）进行计算后得泛函为：然后使泛函对a的偏导等于零，有：()()(sinsin1)()cossin1yxxaxxyxax则有：2122[()]sin1sin1cos1sin1cos1233Iyxaa[()]10sin1sinsin1Iyxaaxayx将回代入试探函数可得近似解：•有限元法在差分法和变分法的基础上建立起来的，结合了两种方法的优点。基本思想：1）离散差分法：对方程进行离散网格规则有限元法：对物理模型进行离散网格不规则(即使写不出方程也可以求解)2）分片插值变分法：在整个求解区域采用统一插值函数有限元法：针对每一个单元选择插值函数有限元法的产生•1943年，Courant尝试应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合，求解St.Venant扭转问题。•现代有限元法的第一个成功尝试是Turnet,Clough等人在分析飞机结构时于1965年得到的成果，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题。•1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称。•Turner等人最早提出有限单元法时是利用直接刚度法，它来源于结构分析的刚度法，只能处理一些比较简单的实际问题。•1963-1964年，Besseling,Melosh和Jones等人证明了有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式。•1960年后，随着电子计算机的发展，有限单元法的发展速度才显著加快。第二节有限元法的应用•有限元的优越性1)能够分析形状复杂的结构2)能够处理复杂的边界条件3)能够保证规定的工程精度4)能够处理不同类型的材料•有限元的应用领域1）线性静力分析2）动态分析3）热分析4）流场分析5）电磁场计算6）非线性分析7）过程仿真第三节有限元的实施过程•有限元法是当今主要的CAE方法•有限元的实施过程1）原理研究2）软件开发3）应用研究